Analisar um circuito rlc usando métodos de laplace

Usando a transformada de Laplace como parte de sua análise de circuitos fornece uma previsão de resposta do circuito. Analisar os pólos da transformada de Laplace para ter uma idéia geral do comportamento de saída. pólos reais, por exemplo, indicam comportamento de saída exponencial.

Siga estes passos básicos para analisar um circuito usando técnicas de Laplace:

1. Desenvolver a equação diferencial no domínio do tempo usando as leis de Kirchhoff e equações elemento.

2. Aplicar a transformação de Laplace da equação diferencial para colocar a equação na s-domínio.

3. Algebricamente resolver para a solução ou resposta transformar.

4. Aplicar a transformação inversa de Laplace para produzir a solução da equação diferencial original descrita no domio do tempo.

Para se sentir confortável com este processo, você simplesmente precisa para a prática de aplicá-lo a diferentes tipos de circuitos, tais como um circuito RC (resistor-capacitor), um RL (resistor-indutor) de circuito, e um (resistor-indutor-capacitor) Circuito RLC .

Aqui você pode ver um circuito RLC em que o interruptor foi aberto por um longo tempo. A chave é fechada no momento t = 0.

Neste circuito, você tem a seguinte equação KVL:

v_R(T) + v_eu(T) + v (t) = 0

Em seguida, formular a equação elemento (ou i-v característica) para cada dispositivo. A lei de Ohm descreve a tensão sobre o resistor (observando que i (t) = i_eu(T) porque o circuito está ligado em série, onde I (s) = I_eu(S) são as transformadas de Laplace):

v_R(T) = I (t) R

equação elemento do indutor é dada por

E equação elemento do capacitor é

Aqui, v_C(0) = V₀ é o estado inicial, e é igual a 5 volts.

Substituindo as equações elemento, v_R(televisão_C(T), e v_eu(T), na equação KVL dá-lhe a seguinte equação (com um nome fantasia: o integro-equação diferencial):

O próximo passo é aplicar a transformada de Laplace à equação anterior para encontrar um É) que satisfaz a equação integro-diferencial para um dado conjunto de condições iniciais:

A equação anterior usa a propriedade linearidade permitindo-lhe tirar a transformada de Laplace de cada termo. Para o primeiro termo do lado esquerdo da equação, você usa a propriedade diferenciação para conseguir transformar o seguinte:

Esta equação utiliza Eu_eu(S) = ℒ[isto)], e Eu₀ é a corrente inicial que flui através do indutor. Porque a chave está aberta por um longo tempo, a condição inicial Eu₀ é igual a zero.

Para o segundo termo da equação KVL lidar com resistor R, a transformada de Laplace é simplesmente

ℒ [i (t) R] = I (s) R

Para o terceiro termo na expressão KVL lidando com capacitor C, Você tem

Video: Resposta de Circuito RLC usando a transformada de Laplace

A transformada de Laplace da equação diferencial integro-torna

Reorganizar a equação e resolva para É):

Para obter a solução no domínio do tempo isto), usar a tabela que se segue, e notar que a equação anterior tem a forma de uma sinusóide de amortecimento.

Agora, você conecta Eu₀ = 0 e alguns números a partir desta figura:

Video: Sinais e Sistemas - Transformada de Laplace (Aplicação 3/3)

Agora você tem esta equação:

Você encerrar com a seguinte solução:

i (t) = [-0.01e^-400t sin500t] u (t)

Para este circuito RLC, você tem uma senóide de amortecimento. As oscilações vai morrer depois de um longo período de tempo. Para este exemplo, a constante de tempo é de 1/400 e irá desaparecer após 5/400 = 1/80 segundos.