Analisar um circuito de primeira ordem rc usando métodos de laplace
Usando a transformada de Laplace como parte de sua análise de circuitos fornece uma previsão de resposta do circuito. Analisar os pólos da transformada de Laplace para ter uma idéia geral do comportamento de saída. pólos reais, por exemplo, indicam comportamento de saída exponencial.
Conteúdo
Siga estes passos básicos para analisar um circuito usando técnicas de Laplace:
Desenvolver a equação diferencial no domínio do tempo usando as leis de Kirchhoff e equações elemento.
Aplicar a transformação de Laplace da equação diferencial para colocar a equação na s-domínio.
Algebricamente resolver para a solução ou resposta transformar.
Aplicar a transformação inversa de Laplace para produzir a solução da equação diferencial original descrita no domio do tempo.
Para se sentir confortável com este processo, você simplesmente precisa para a prática de aplicá-lo a diferentes tipos de circuitos, tais como um circuito RC (resistor-capacitor), um RL (resistor-indutor) de circuito, e um (resistor-indutor-capacitor) Circuito RLC .
Considere o circuito série RC de primeira ordem simples mostrada aqui. Para configurar a equação diferencial para este circuito em série, você pode usar a lei de voltagem de Kirchhoff (KVL), que diz que a soma dos aumentos de tensão e quedas em torno de um ciclo é zero. Este circuito tem a seguinte equação KVL em torno do circuito:
-vS(T) + vr(T) + vc(T) = 0
Em seguida, formular a equação elemento (ou i-v característica) para cada dispositivo. A equação elemento para a fonte é
vS(T) = VUMAu (t)
Use a lei de Ohm para descrever a tensão sobre o resistor:
vR(T) = I (t) R
Video: circuitos laplace ejemplo 1 parte 1
equação elemento do capacitor é dada como
Substituindo esta expressão para isto) para dentro vR(T) dá-lhe a seguinte expressão:
substituindo vR(televisãoC(T), e vS(T) na equação KVL leva a
Agora reorganizar a equação para obter a equação diferencial de primeira ordem desejada:
Agora você está pronto para aplicar a transformação de Laplace da equação diferencial no s-domínio. O resultado é
Video: Transformada de Laplace de un circuito RC serie
À esquerda, a propriedade da linearidade foi usada para tirar a transformada de Laplace de cada termo. Para o primeiro termo do lado esquerdo da equação, você usa a propriedade diferenciação, o que lhe dá
Esta equação utiliza VC(s) = ℒ [vC(T)], e V0 é a voltagem inicial através do condensador.
Usando a tabela a seguir, a transformada de Laplace de uma função etapa fornece-lhe com esta:
Com base nas expressões anteriores, para as transformadas de Laplace, a equação diferencial torna-se o seguinte:
Em seguida, reorganizar a equação:
Resolva para a saída Vc(S) para obter o seguinte transformar solução:
Video: Circuito de Primeira Ordem
Através da realização de uma transformação inversa de Laplace de VC(S) para uma dada condição inicial, esta equação conduz à solução de vC(T) da equação original diferencial de primeira ordem.
Para o Passo 3 do processo. Para obter a solução no domínio do tempo vC(T), você precisa fazer uma expansão em frações parciais para o primeiro termo do lado direito da equação anterior:
Você precisa determinar as constantes UMA e B. Para simplificar a equação anterior, multiplicar ambos os lados por s (s + 1 / RC) para se livrar dos denominadores:
Algebricamente reorganizar a equação através da recolha de termos semelhantes:
Para que o lado esquerdo da equação anterior para ser igual a zero, os coeficientes devem ser zero (A + B = 0 e A - VUMA = 0). para constantes UMA e B, você acabar com A = VUMA e B = -VUMA. Substituir estes valores na equação seguinte:
A substituição leva a:
Agora substitua a expressão precedente para o VC(S) equação para obter a solução de transformação:
Isso completa a expansão em frações parciais. então você pode usar a tabela dada anteriormente para encontrar a transformada de Laplace inversa para cada termo do lado direito da equação anterior.
O primeiro termo tem a forma de uma função degrau, e os dois últimos termos têm a forma de uma exponencial, por isso a transformada de Laplace inversa da equação anterior leva-lo para a seguinte solução vC(T) no domínio do tempo:
O resultado mostra que o tempo t se aproxima do infinito, o capacitor se carrega com o valor da entrada VUMA. Além disso, a voltagem inicial do condensador, eventualmente, morre a zero depois de um longo período de tempo (cerca de 5 constantes de tempo RC,).