Aplicando quadráticas para situações da vida real

equações de segundo grau se prestam a modelagem de situações que acontecem na vida real, como a ascensão e queda de lucros de venda de bens, a diminuição e aumento na quantidade de tempo que leva para executar uma milha com base em sua idade, e assim por diante.

Video: Exemplos de fatoração de quadráticas simples

A parte maravilhosa de ter algo que pode ser modelada por uma quadrática é que você pode facilmente resolver a equação quando definido igual a zero e prever os padrões nos valores da função.

O vértice e X-intercepta são especialmente úteis. Essas interceptações dizer onde números mudam de positivo para negativo ou negativo para positivo, então você sabe, por exemplo, onde o terreno está localizado em um problema de física ou quando você começar a fazer um lucro ou perdendo dinheiro em um negócio.

O vértice diz-lhe onde você pode encontrar o máximo absoluto ou um custo mínimo, o lucro, a velocidade, altura, tempo, ou o que você está modelando.

pergunta amostra

1. Em 1972, você poderia comprar um Comet Mercury para cerca de US $ 3.200. Os carros podem depreciar em valor muito rapidamente, mas a Comet 1972 em bom estado pode valer a pena um monte de dinheiro para um colecionador de hoje.

   Deixe o valor de um desses cometas ser modelada pela função quadrática v(t) = 18,75t² - 450t + 3200, onde t é o número de anos desde 1972. Quando é o valor da função igual a 0 (o que é um X-interceptação), o que foi o valor mais baixo do carro, e qual foi o seu valor em 2010?

   O valor do carro nunca caiu para 0, o menor valor foi de US $ 500, eo carro era de US $ 13.175 no ano de 2010. Neste modelo, o y-intersecção representa o valor inicial. Quando t = 0, a função é v(0) = 3.200, o que corresponde ao preço de compra.

   Encontre o X-intercepta por resolver 18.75t² -450t + 3.200 = 0. Usando a fórmula quadrática (você pode tentar factoring, mas é um pouco de um desafio e, como se vê, a equação não fator faz), você começa -37.500 sob o radical na fórmula. Você não pode obter uma solução-número real, então o gráfico não tem X-interceptar. O valor da Comet não é nunca começar a 0.

   Encontre o menor valor por determinação do vértice. Usando a fórmula,

   

   Esta coordenar diz que 12 anos desde o início (1984 - adicionar 12-1972), o valor da Comet é a mais baixa. Substitua o t‘S na fórmula com 12, e você começa v(12) = 18,75 (12)² - 450 (12) + 3,200 = 500.

   O Comet foi de US $ 500 em 1984. Para encontrar o valor do carro em 2010, você deixa t = 38, porque o ano de 2010 é de 38 anos após 1972. O valor do carro em 2010 é v(38) = 18,75 (38)² - 450 (38) + 3.200 = $ 13.175.

questões práticas

1. A altura de uma esfera t segundos depois que ele é jogado para o ar a partir do topo de um edifício pode ser modelada por h(t) = -16t² + 48t + 64, onde h(t) É a altura em centímetros. Qual é o edifício, como a elevação faz a ascensão bola antes de começar a cair para baixo, e após quantos segundos a bola bater no chão?

2. A função lucro dizendo Georgio quanto dinheiro ele lhe renderá para a produção e venda X guarda-chuvas especiais é dada por P(X) = -0,00405X² + 8,15X - 100.

   O que é a perda de Georgio se ele não vender qualquer um dos guarda-chuvas que ele produz, quantos guarda-chuvas que ele tem que vender para quebrar mesmo, e quantos ele tem que vender para ganhar o maior lucro possível?

3. Chip funcionou através de um labirinto em menos de um minuto a primeira vez que ele tentou. Seus tempos ficou ainda melhor por um tempo com cada nova tentativa, mas, em seguida, seu tempo ficou pior (ele levou mais tempo) devido à fadiga.

   A quantidade de tempo Chip levou para percorrer o labirinto no umath tentativa pode ser modelada por T(uma) = 0,5uma² - 9uma + 48.5. Quanto tempo levou Chip tomar para executar o labirinto pela primeira vez, e que era o seu melhor tempo?

4. A passagem inferior da estrada é parabólico em forma. Se a curva do túnel pode ser modelada por h(X) = 50-0,02X², Onde X e h(X) Estão em pé, em seguida, o quão alto é o ponto mais alto da passagem subterrânea, e quão grande é?

Seguem-se respostas para as questões práticas:

1. 
   
   
   

   O edifício é de 64 pés de altura, a bola picos de 100 pés, e leva 4 segundos para bater no chão.

   A bola é lançada a partir do topo do edifício, assim que você quer a altura da bola quando t = 0. Este número é o inicial t valor (o y-interceptar). Quando t = 0, h = 64, de modo que o edifício é de 64 pés de altura.

   A bola está no seu mais elevado no vértice da parábola. calculando o t valor, você tem que o vértice ocorre quando t = 1,5 segundos. substituindo t = 1,5 na fórmula, você começa a h = 100 pés.

   A bola bate no chão quando h = 0. Resolvendo -16t² + 48t + 64 = 0, você fator para obter -16 (t - 4) (t + 1) = 0. A soluo t = 4 avisa quando a bola bate no chão.

   o t = -1 representa indo para trás no tempo, ou, neste caso, em que a bola teria começado se tivesse sido lançado a partir do solo - e não o topo de um edifício.

2. Georgio perde US $ 100 (ganha - US $ 100) se ele vende 0, precisa vender 13 para quebrar mesmo, e pode maximizar os lucros se ele vende 1.006 guarda-chuvas.

   Se Georgio sells guarda-sóis, em seguida, X = 0, e ele faz um lucro negativo (prejuízo) de US $ 100. O ponto de equilíbrio acontece quando as mudanças de lucro de negativo para positivo, a uma X-interceptar. Usando a fórmula quadrática, você tem duas interceptações: pelo X = 2.000 e X é de aproximadamente 12,35.

   A primeira (mais pequeno) X-intercepção é o local onde a função muda de negativo para positivo. O segundo é onde o lucro torna-se uma perda de novo (muitos guarda-chuvas, muita hora extra?). Assim, 13 guarda-chuvas renderia um lucro positivo - ele quebrar mesmo (ter lucro zero).

   O lucro máximo ocorre no vértice. Usando a fórmula para o X-valor do vértice, você tem que X é de aproximadamente 1,006.17. Substituindo 1.006 na fórmula, você começa 4,000.1542- seguida, substituindo 1.007 na fórmula, você começa 4,000.15155.

   Você vê que Georgio fica um pouco mais lucro com 1.006 guarda-chuvas, mas que a fração de um centavo não significa muito. Ele ainda faria cerca de US $ 4.000.

3. Chip levou 40 segundos o primeiro tempo- seu melhor tempo foi de 8 segundos.

   Uma vez que a variável uma representa o número da tentativa, encontrar T(1) durante o tempo da primeira tentativa. T(1) = 40 segundos. A melhor (mínimo) tempo está no vértice. Resolvendo para o uma valor (que é o número da tentativa),

   

   Video: Exemplo: equações quadráticas na forma canónica - Khan Academy (8º ano)

   Ele tinha o melhor tempo no nono tentativa, e T(9) = 8.

4. A passagem inferior é de 50 pés de altura e 100 pés de largura.

   

   O ponto mais alto ocorre no vértice:

   

   o X-coordenada do vértice é 0, então o vértice é também o y-interceptam, na (0, 50). Os dois X-intercepta representam os pontos finais da largura do viaduto. Definir 50-,02X² igual a 0, você resolve para X e pegue X = 50, -50. Estes dois pontos são 100 unidades de distância - a largura da passagem subterrânea.