Sinais e sistemas caso do mundo real: projeto filtro analógico com um toque

Você é dado a tarefa de projetar uma entrada analógica (de tempo contínuo) filtrar para atender as especificações de resposta de amplitude mostrados. Você também precisa encontrar a resposta ao degrau do filtro, determine o valor da superação de pico e tempo onde ocorre a superação de pico.

O objetivo do projeto do filtro é para a magnitude da resposta de frequência em dB (20log₁₀|H(f) |) Para passar pela região sem sombra da figura como a frequência aumenta. Os requisitos de design reduzir a banda passante e stopband frequências críticas f_p e f_s Hz e os níveis de atenuação de banda passante e stopband UMA_p e UMA_s dB.

Além disso, a característica de resposta é para ser Butterworth, o que significa que a função de resposta e sistema de magnitude filtro de tomar esta forma:

Aqui, N é a ordem do filtro, f_c representa a banda de passagem de 3 dB frequência de corte do filtro, e os postes, localizados em um semicírculo é a esquerda; meia s-plano, são dadas pela

Este problema exige que você trabalhe no domínio da frequência, o domínio do tempo, e talvez o s-domínio, dependendo da abordagem solução que você escolher.

A partir dos requisitos, a resposta de frequência do filtro tem ganho unitário (0 dB) na banda passante. A resposta de passo (a caracterização de domínio de tempo) do filtro de Butterworth é conhecida para ultrapassar unidade antes de finalmente se à unidade como

Para projetar o filtro, você pode usar uma das duas abordagens:

1. Trabalhar uma solução à mão, usando a resposta de freqüência magnitude Butterworth |H_BU(f) | e a função do sistema, H_BU(s).

2. Use os recursos de projeto do filtro do SciPy sinal pacote.

Encontrar a ordem do filtro e de 3 dB frequência de corte

Siga estes passos para projetar o filtro usando Python e SciPy para fazer o número real de trituração:

1. Encontrar N e f_c para atender aos requisitos de resposta magnitude.

   Use a função SciPy N, wc = signal.buttord (WP, WS, Ap, A, analógico = 1) e entre os requisitos de projeto do filtro, onde wp e ws são da faixa de passagem e banda atenuada frequências críticas em rad / s e Ap e Como são os níveis de banda de passagem da faixa de rejeição e de atenuação (ambos os conjuntos de números de vir a partir da figura precedente). A função retorna a ordem do filtro N e a frequência de corte banheiro em rad / s.

2. Sintetizar o filtro - encontrar o {b_k} E {uma_k} coeficientes da equação diferencial LCC que realiza o sistema desejado.

   Se encontrar elementos do circuito é o fim do jogo, você pode ir lá imediatamente, usando fórmulas de síntese circuito. Chame a função SciPy b, a = signal.butter (N, WC, analógico = 1) com a ordem do filtro e a frequência de corte, e que devolve os coeficientes do filtro em matrizes b e uma.

3. Encontre a resposta ao degrau em forma matemática exata ou via simulação.

Veja como usar as ferramentas Python com as exigências do projeto dadas e, em seguida, verificar o trabalho traçando a resposta de frequência como uma sobreposição. Nota: Você pode fazer a mesma coisa em MATLAB com quase a mesma sintaxe.

Video: Eliminando sua conta de luz - Grid Tie conectado a rede - adeus conta de luz!

Dentro [379]: N, wc = signal.buttord (2 * pi * * pi * 1e3,2 10e3,3.0,50, analógico = 1) a fim de filtro # encontrar NIn [380]: N # filtro orderOut [380]: 3In [381]: Wc freq # corte em rad / sOut [381]: 9222.4701630595955In [382]: B, a = signal.butter (N, WC, analógico = 1) # get coeffs.In [383]: ataque[383]: Matriz ([7.84407571e + 11 + 0.j]) Em [384]: Real (a) Out [384]: Matriz ([1.00000000e + 00, + 1.84449403e 04,1.70107912e + 08,7.84407571e + 11])

Os resultados da Linha [379] dizer-lhe que a ordem do filtro necessário é N = 3 e a frequência de corte do filtro é necessário

Os conjuntos de coeficientes de filtro, também são incluídos nos resultados.

Use o real() função para exibir com segurança a parte real da matriz coeficientes uma porque você sabe que os coeficientes são reais. Como? Os pólos, raízes denominador H_BU(s), São reais ou ocorrem em pares conjugados complexos, garantindo que o polinômio denominador tem coeficientes reais quando multiplicado fora. As muito pequenas partes imaginárias são devido a erros de precisão numérica.

Verificar a resposta final frequência projeto

Para verificar o design, usar a receita resposta de freqüência.

Video: Como testar capacitor com multímetro digital

Dentro [386]: F = logspace (2,5,500) axisIn # log frequência [387]: W, H = signal.freqs (b, a, 2 * pi * f) [388]: Semilogx (F, 20 * log10 (abs (H)),’g’)

A figura mostra o gráfico da resposta final design de magnitude juntamente com os requisitos de design originais.

Encontrando-se o passo de resposta a partir dos coeficientes de filtro

A abordagem mais elegante para encontrar a resposta ao degrau dos coeficientes do filtro é encontrar

Video: Controle analogico

o s-seção domínio da figura diz-lhe como completar a expansão em frações parciais (PFE) numericamente. Você tem as matrizes de coeficiente para H(s), Então tudo que você precisa fazer é multiplicar o polinômio denominador por s. Você pode fazer isso manualmente ou você pode usar uma relação entre coeficientes polinomiais e convolução seqüência.

Ao multiplicar dois polinómios, as matrizes de coeficientes para cada polinómio são convolved, como na sequência de convolução.

Aqui, você trabalha com o problema, usando signal.convolve para realizar a multiplicação polinomial no denominador. Para convencê-lo que isso realmente funciona, considere multiplicação dos dois polinômios seguintes:

(X² + X + 1) (X + 1) = X³ + 2X² + 2X + 1

Se você convolve os conjuntos de coeficientes [1, 1, 1] e [1, 1] como arrays em Python, você recebe essa saída:

Dentro [418]: Signal.convolve ([1,1,1], [1,1]) para fora [418]: Matriz ([1, 2, 2, 1])

Isto concorda com o cálculo manual. Para encontrar o PFE, conecte as matrizes coeficientes b e convolve (a, [1,0]) para dentro R, P, K = resíduo (b, a). Os coeficientes de [1, 0] corresponder ao s-polinomial de domínio s + 0.

Dentro [420]: R, P, K = signal.residue (b, signal.convolve ([1,0], um)) Em [421]: R # (resíduos) arranhar pequena errorsOut numérica [421]: Matriz ([1.0000e + 00 + 2.3343e-16j, # 0 resíduo, parte imag 0-1.0000e + 00 + 1.0695e-15j, # resíduo 1, parte imag 01.08935e-15 -5.7735e-01J, # resíduo 2, parte real 01.6081e-15 + 5.7735e-01J]) # resíduo 3, parte real 0cm [422]: P # (pólos) Out [422]: Matriz ([0,0000 + 0.0000e + 00j, # pólo 0-9222,4702 -1.5454e-12j, # poste 1, imag parte 0-4.611,2351 -7.9869e + 03J, # pólo 2-4611,2351 + 7.9869e + 03J]) # pólo 3In [423]: K # (de divisão longa) Out [423]: Array ([0. + 0.j]) # adequada racional, por isso não termos

Você tem quatro pólos: dois reais e um par conjugado complexo - um pouco de confusão para o trabalho através, mas é factível. Referem-se a par transformar

Video: Develop Mobile Apps without Infrastructure (Firebase Dev Summit 2016)

para calcular a transformada inversa para todas as quatro termos.

Para os pólos conjugados, os resíduos também são conjugados. Essa propriedade sempre se mantém.

Você pode escrever a transformada inversa dos termos conjugado pólo como senos e co-senos, usando a fórmula de Euler e o cancelamento das partes imaginárias na frente do cosseno e partes reais na frente do seno:

Juntando tudo, você começa y_degrau(t) = você(t) - e^-9,222.47tvocê(t) -2 x 0,5774e^-4,611.74tsin (7,986.89t)você(t). Tendo esta forma é bom, mas você ainda precisa encontrar o máximo de função para t gt; 0 ea localização máxima. Para fazer isso, traçar a função e observar o máximo.

Uma abordagem mais directa é usar simulação via signal.lsim ea receita no domínio do tempo. A entrada do sistema é um passo, de modo que a saída de simulação será a resposta de passo. A partir da resposta ao degrau simulado, você pode calcular a superação pico numericamente e vê-lo em uma trama. O código de linha de comando IPython é

Dentro [425]: T = arange (0,0.002,1e-6) # passo menor do que o menor tempo Constantín [426]: T, ys, x_state = signal.lsim ((b, a), os (len (t)), t) Em [428]: Lote (t * 1e3, ys)

Usando o tempo t matriz e a matriz de resposta etapa ys, você pode usar o max () e encontrar() funções para completar a tarefa:

Dentro [436]: Max (real (ys)) # real para limpar num. errorsOut [436]: 1,0814651457627822 # pico superação is8.14% In [437]: Encontrar (reais (YS) == max (reais (ys))) Out [437]: Matriz ([534]) # encontrar pico para ser pelo índice 534In [439]: T [534] * 1e3 # tempo no índice 534 em msOut [439]: 0,5339