Encontrar a área de uma superfície de revolução
A coisa agradável sobre encontrar a área de uma superfície de revolução é que não há uma fórmula que você pode usar. Memorizá-lo e você está meio caminho feito.
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Video: Superfícies de revolução (parte 2) - Área da esfera
Para encontrar a área de uma superfície de revolução entre uma e b, utilizar a seguinte fórmula:
Esta fórmula é longo e complicado, mas faz mais sentido quando você passar um pensamento minutos sobre isso. A integral é feito de duas peças:
A fórmula de comprimento de arco, o qual mede o comprimento ao longo da superfície
A fórmula para a circunferência de um círculo, que mede o comprimento em torno da superfície
Assim, multiplicando estes dois pedaços juntos é semelhante à multiplicação comprimento e largura para encontrar a área de um retângulo. Com efeito, a fórmula permite medir área de superfície como um número infinito de pequenos retângulos.
Quando você está medindo a superfície de revolução de uma função f(X) em volta do X-eixo, substituto r = f(X) Na fórmula:
Por exemplo, suponha que você deseja encontrar a área de revolução que é mostrado nesta figura.
Medir a superfície de revolução y = X3 entre X = 0 e X = 1.Para resolver este problema, em primeiro lugar, note que para
Video: area superficie de revolucao
Portanto, definir o problema da seguinte forma:
Para começar, simplificar o problema um pouco:
Você pode resolver esse problema usando o seguinte substituição de variáveis:
agora substituir você para 1+ 9X4 e
para X3 dx na equação:
Observe que você alterar os limites da integração: Quando X = 0, você = 1. E quando X = 1, você = 10.
Agora você pode realizar a integração:
Finalmente, avaliar a integral definida:
