O conceito de propagação de erros
Uma forma menos extrema do antigo “lixo em igual lixo para fora” ditado é “difusa em igual a difusa.” Flutuações aleatórias em uma ou mais variáveis medidas produzem flutuações aleatórias em qualquer coisa que você calcular a partir dessas variáveis. Este processo é chamado de propagação de erros. Você precisa saber como medição de erros propagam através de um cálculo que você executar em uma quantidade medida.
Aqui está uma maneira simples de estimar o SE de uma variável (Y), Que é calculado a partir de quase qualquer expressão matemática que envolve uma única variável (X). Começando com o observado X valor (Xo), E o seu desvio padrão (SE), Basta fazer o seguinte cálculo de 3 etapas:
Avaliar a expressão, substituindo o valor de Xo - SE para X na fórmula. Chame o resultado Y1.
Avaliar a expressão, substituindo o valor de Xo + SE para X na fórmula. Chame o resultado Y2.
o SE do Y e simples (Y2 - Y1) / 2.
Aqui está um exemplo que mostra como (e por que) esse processo funciona.
Suponha que você medir o diâmetro (d) De uma moeda como 2,3 centímetros, usando uma pinça ou governante que você sabe (a experiência do passado) tem uma SE de ± 0,2 centímetros. Agora dizer que você quer calcular a área (UMA) Da moeda a partir do diâmetro medido.
Se você sabe que a área de um círculo é dada pela fórmula
você pode calcular imediatamente a área da moeda como
Video: Introdução ao Cálculo Numérico - Erros - Parte 1
que você pode trabalhar para fora em sua calculadora para obter 4.15475628 centímetros quadrados. Claro, você nunca informar a área a que muitos dígitos porque você não medir o diâmetro de forma muito precisa. Então, o quão precisa é a sua área calculada? Em outras palavras, como é que ± 0,2-SE de centímetros d propagar através da fórmula para dar o SE de UMA?
Uma maneira de responder a esta pergunta seria a de considerar um margem de Error (ME) em torno do diâmetro observado (d) Que vai de um a seguir SE d para uma acima SE d. O ME é sempre duas SEs de largura. No exemplo da moeda, ME do diâmetro prolonga-se 2,3-0,2 de 2,3 ± 0,2, ou de 2,1 a 2,5 centímetros.
Agora descobrir as áreas correspondentes aos diâmetros nas extremidades inferior e superior da ME. Usando 2.1 para d na área de fórmula dá UMA = 3,46, e utilizando 2,5 para d dá UMA = 4,91. Assim, o ME para a área da moeda vai de 3,46 a 4,91 centímetros quadrados.
A largura desta ME é de 4,91 - 3,46, ou 1,45 centímetros quadrados, que representa dois SEs para a área. Assim, o SE da área é 1,45 / 2, ou 0,725 centímetro quadrado.
A linha curva representa a fórmula UMA = Π / 4) x d2. As setas escuras mostram como o diâmetro medido (2,3 centímetros), quando ligado à fórmula, produz uma área calculada de cerca de 4,15 centímetros quadrados. As setas cinzentas de cores mais claras representam as extremidades inferiores e superiores do ME e mostrar como o ME para o diâmetro produz um ME para a área.
A SE da área depende da SE do diâmetro e a inclinação da curva. Na verdade, o SE da área é igual a SE do diâmetro multiplicado pela inclinação da curva.
Infelizmente, o processo simples ilustrado neste exemplo, não pode ser generalizado para lidar com as funções de duas ou mais variáveis, tais como o cálculo do índice de massa corporal de uma pessoa de estatura e peso.
Os matemáticos ter derivado de uma fórmula muito geral para o cálculo (aproximadamente) como SEs em uma ou mais variáveis propagar através de qualquer expressão envolvendo essas variáveis, mas é muito complicado, e usá-lo você tem que ser realmente bom em cálculo ou você quase certamente cometer erros ao longo do caminho.
Felizmente, há muito melhores alternativas:
Você pode usar algumas simples fórmulas erro de propagação para expressões simples.
Ainda mais fácil, você pode ir para uma página web que faz os cálculos erro de propagação para as funções de uma ou duas variáveis.
Você pode usar uma abordagem muito geral de simulação que pode facilmente analisar como erros propagam através de até mesmo as expressões mais complicadas, envolvendo qualquer quantidade de variáveis.