Como mudar coordenadas retangulares para coordenadas esféricas
Na física quântica, para encontrar as funções próprias reais (não apenas os auto-estados) de operadores de momento angular como L2
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No retangular (cartesiano) sistema de coordenadas, você usa X, y, e z orientar-se. No sistema de coordenadas esférico, você também usar três grandezas:
como mostra a figura. Você pode traduzir entre o esférico sistema de coordenadas eo retangular desta forma: O r vector é o comprimento do vector para a partícula que possui momento angular,
é o ângulo de r de z eixo, e
é o ângulo de r de X eixo.
Considere as equações para o momento angular:
Quando você toma as equações de movimento angular com as equações de conversão de coordenadas do sistema esférico, você pode derivar o seguinte:
Ok, estas equações parecem muito envolvidos. Mas há uma coisa a notar: Eles dependem apenas
o que significa que as suas autoestados dependem apenas
não em r. Assim, as funções próprias dos operadores da lista anterior pode ser denotado como este:
Tradicionalmente, você dá o nome
para as funções próprias do momento angular em coordenadas esféricas, então você tem o seguinte:
Tudo bem, é hora de trabalhar em encontrar a forma real de
Você sabe que quando você usar o L2 e euz operadores no eigenstates momento angular, você recebe a seguinte:
Assim, o seguinte deve ser verdadeiro:
Na verdade, você pode ir mais longe. Note-se que Lz depende apenas de
o que sugere que você pode dividir
-se em uma parte que depende de
Video: Converter coordenada retangular para polar [Casio fx-82ms]
e uma parte que depende de
splitting
em partes parece com isso:
Video: transformação de coordenadas cartesianas para esféricas
Isso é o que torna o trabalho com esférico coordena tão útil - você pode dividir as funções próprias em duas partes, uma que depende apenas
e uma parte que depende apenas de
