Como encontrar as funções próprias de l2 em coordenadas esféricas
Seu instrutor física quântica pode pedir-lhe para encontrar as funções próprias de L2
em coordenadas esféricas. Para fazer isso, você começa com o eigenfunction de
dado que em coordenadas esféricas, o G2 operador parece com isso:
Isso é um operador. E, dado que
você pode aplicar o L2 operador
que lhe dá o seguinte:
E porque
esta equação torna-se
Uau, o que você começ em? Cancelamento de termos e subtraindo o direito; do lado da esquerda, finalmente, dá-lhe essa equação diferencial:
Combinando termos e dividindo por
dá-lhe o seguinte:
Vaca sagrada! não há alguém que tentou resolver este tipo de equação diferencial antes? Sim existe. Esta equação é uma equação diferencial de Legendre, e as soluções são bem conhecidos. (! Ufa) Em geral, as soluções de tomar esta forma:
Onde
é o função Legendre.
Então, quais são as funções de Legendre? Você pode começar por separar o m dependência, que funciona dessa maneira com as funções de Legendre:
onde Peu(X) É chamado de Legendre polinomial e é dada pela fórmula Rodrigues:
Você pode usar esta equação para derivar os primeiros polinômios de Legendre como este:
e assim por diante. Isso é o que os primeiros Peu (X) polinômios parecer. Então, o que fazem as funções de Legendre associadas, Plm (X) parece? Você também pode calcular-los. Você pode começar com Pl0 (X), Onde m = 0. Estes são fácil, porque Pl0 (X) = Peu (X), assim
Além disso, você pode achar que
Essas equações lhe dar uma visão geral do que o Plm funções parecido, o que significa que você está quase pronto. Como você pode lembrar,
está relacionada com o Plm funções como este:
E agora você sabe o que o Plm funções parecido, mas o que fazer Clm, as constantes, parece? Assim que você tem aqueles, você terá as funções próprias do momento angular completos,
Você pode ir sobre como calcular as constantes Clm do jeito que você sempre calcular essas constantes de integração na física quântica - você normalizar as funções próprias para 1.
que se parece com isso:
(Lembre-se que o símbolo asterisco significa o conjugado complexo. Um conjugado complexo inverte o sinal que liga as partes real e imaginária de um número complexo.)
Substitua os três seguintes quantidades nesta equação:
Você ganha o seguinte:
Video: Coordenadas esféricas
de modo que este se torna
Você pode avaliar a integral a esta:
Portanto, em outras palavras:
O que significa que
que é o autofunção momento angular em coordenadas esféricas, é
Video: Sistema de Coordenadas Esféricas
As funções dadas por esta equação são chamados a harmónicas esféricas normalizados. Aqui está o que os primeiros harmônicos esféricos normalizados parecido:
Na verdade, você pode usar essas relações para converter os harmônicos esféricos para coordenadas retangulares:
Substituindo estas equações em
dá-lhe os harmônicos esféricos em coordenadas retangulares:
