Calcular a inclinação de uma função usando o quociente diferença

Você pode calcular a inclinação de uma função usando o quociente diferença. O quociente de diferença permite calcular uma ladeira, se você não tem inicialmente dois pontos para ligar na fórmula inclinação.

Para calcular uma ladeira, você precisa de dois pontos para ligar a esta fórmula. Para uma linha, isso é fácil. Você só escolher quaisquer dois pontos na linha e ligá-los. Mas não é tão simples, se você quiser, por exemplo, a inclinação da parábola f (X) = X² no ponto (2, 4). Confira a primeira figura.

O gráfico de f(X) = X² (ou y = X²) Com uma linha tangente em (2, 4).

Pode ver a linha tangente à curva no (2, 4). Porque a inclinação da linha tangente é o mesmo que a inclinação da parábola em (2, 4), tudo que você precisa é a inclinação da linha tangente a dar-lhe a inclinação da parábola. Mas você não sabe a equação da linha tangente, então você não pode obter o segundo ponto -, além de (2, 4) - o que você precisa para a fórmula de inclinação.

Veja como os inventores do cálculo tem em torno deste obstáculo. A figura seguinte mostra a linha tangente e novamente uma linha secante intersecta a parola em (2, 4) e pelo (10, 100).

Definição de secante: Uma linha secante é uma linha que cruza uma curva em dois pontos. Isto é um pouco simplista, mas ele vai fazer.

O gráfico de f(X) = X² com uma linha tangente e secante.

A inclinação desta linha secante é dada pela fórmula inclinação:

Você pode ver que esta linha secante é mais acentuada do que a linha tangente, e, assim, a inclinação da secante, 12, é maior do que a inclinação que você está procurando.

Agora adicione mais um ponto em (6, 36) e extrair outro secante usando esse ponto e (2, 4), novamente, como mostrado na figura a seguir.

O gráfico de f(X) = X² com uma linha tangente e duas linhas secantes.

Calcule a inclinação desta segunda secante:

Você pode ver que esta linha secante é uma melhor aproximação da linha tangente do que o primeiro secante.

Agora, imagine o que aconteceria se você pegou o ponto em (6, 36) e deslizou para baixo da parábola direção (2, 4), arrastando a linha secante junto com ele. você pode ver que como o ponto fica cada vez mais perto (2, 4), a linha secante se aproxima mais e mais perto da linha tangente, e que a inclinação desta secante, assim, fica mais perto e mais perto da inclinação da tangente?

Assim, você pode obter a inclinação da tangente se você tomar o limite das encostas deste secante em movimento. Vamos dar o ponto móvel as coordenadas (X₂, y₂). Como este ponto (X₂, y₂) Desliza cada vez mais perto (X₁, y₁), A saber, (2, 4), o corre, o que equivale X₁ - X₁, fica cada vez mais perto de zero. Então aqui está o limite que você precisa:

Veja o que acontece a este limite quando você conecta mais quatro pontos sobre a parábola que são cada vez mais perto (2, 4):

Quando o ponto (X₂, y₂) Desliza para (3, 9), a inclinação é

ou 5.

Quando o ponto desliza para (2.1, 4.41), a inclinação é

ou 4.1.

Quando o ponto desliza para (2,01, 4,0401), a inclinação é 4.01.

Quando o ponto desliza para (2.001, 4,004001), a inclinação é 4.001.

olhares certeza que como a inclinação é dirigido em direção a 4.

Tal como acontece com todos os problemas de limite, a variável neste problema, X₂ abordagens mas nunca realmente fica para a seta-número (2, neste caso). Se chegou a 2 - o que aconteceria se você deslizou o ponto que você pegou ao longo da parábola até que fosse realmente em cima de (2, 4) - você obteria

que é indefinido. Mas, é claro, a inclinação em (2, 4) é precisamente a inclinação que você quer - a inclinação da linha quando o ponto faz terra em cima de (2, 4). Aqui reside a beleza do processo de limite. Com esse limite, você começa a exato inclinação da tangente A linha em (2, 4), embora a função de limite,

gera pistas de secante linhas.

Aqui, novamente, é a equação para a inclinação da linha tangente:

E a inclinação da linha tangente é - você adivinhou - a derivada.

Significado da derivado: O derivado de uma função f(X) Em algum número X = c, escrito como

é a inclinação da linha tangente f desenhado pelo c.

A fração de inclinação

é expressa com a terminologia álgebra. Agora você pode reescrevê-lo para dar-lhe aquele olhar cálculo highfalutin. Mas, primeiro, finalmente, a definição que você estava esperando.

Definição do quociente de diferença: Há um termo de cálculo de fantasia para a fração geral inclinação,

quando você escrevê-lo no caminho cálculo fantasia. A fracção é um quociente, certo? E ambos y₂ - y₁ e X₂ - X₁ estamos diferenças, certo? Então, voilà, ele é chamado o quociente de diferença. Aqui está:

(Esta é a maneira mais comum de escrever o quociente de diferença. Você pode correr em outras formas equivalentes.)

Ok, vamos colocar para fora deste processo em que

transforma-se na razão incremental.

Primeiro, o corre, X₂ - X₁ (Neste exemplo, X₂ - 2), é chamado h. Em seguida, porque X₁ = 2 e o corre é igual a h,X₂ é igual a 2 + h. Você, então, escrever y₁ Como f(2) e y₂ Como f(2 + h). Fazendo todas as substituições lhe dá o derivado de X² em X = 2:

Lembre-se disso

é simplesmente o encolhimento

degrau você pode ver na o f anterioriguraComo o ponto desliza para baixo da parábola em direção (2, 4).

A figura seguinte é basicamente o mesmo que o anterior, excepto que em vez de pontos exactos como (6, 36) e (10, 100), o ponto de deslizamento tem as coordenadas gerais de (2 + h, f (2 + h)), e as subir e a corre são expressos em termos de h.

gráfico de f (X) = X² mostrando como um limite produz a inclinação da linha tangente em (2, 4).

Portanto, esta figura representa o gráfico final para

Você está confuso com estas duas figuras? Não se preocupe. Ambos mostram a mesma coisa. Ambos os valores são representações visuais de

Fazendo as contas dá-lhe, finalmente, a inclinação da linha tangente em (2, 4):

Então, a inclinação no ponto (2, 4) é de 4.

definição principal do derivado: Se você substituir o ponto (2, f(2)) na equação limite com o ponto geral (X, f (X)), Você começa a definição geral do derivado em função da X:

Então, finalmente, você vê que o derivativo é definido como o limite do quociente diferença.

A figura a seguir mostra essa definição geral graficamente. Note-se que este número é praticamente idêntico ao anterior, excepto que Xs substituir os 2s na figura anterior e que o ponto móvel nesta figura desliza para baixo em direção a qualquer ponto de idade (X, f (X)) Em vez de em direcção ao ponto específico (2, f(2)).

gráfico de f(X) = X² mostrando como um limite produz a inclinação da linha tangente no ponto geral (X, f(X)).

Agora trabalhar fora deste limite e obter o derivado para a parábola, f(X) = X²:

Assim, para esta parábola, o derivado (o qual é a inclinação da linha tangente a cada valor X) É igual a doisX. Conecte qualquer número em X, e você começa a inclinação da parábola em que X-valor. Tente.

A figura tipo final da resume (de forma simplificada) todas as difíceis ideias anteriores sobre o quociente de diferença.

Como as três figuras anteriores, o valor final contém uma inclinação degrau básico, um secante, e uma linha tangente. A inclinação da linha secante é

A inclinação da linha tangente é

e você pode ver porque este é um dos símbolos usados ​​para o derivado. Como a linha secante degrau encolhe para baixo a nada, ou, em outras palavras, no limite como