Encontrar áreas exatas sob uma curva usando a integral definida
Ao aproximar a área sob a curva usando a esquerda, direita ou ponto médio retângulos, os mais retângulos que você usa, melhor será a aproximação. Assim, “todos” você teria que fazer para obter a área exata sob uma curva é usar um número infinito de retângulos. Agora, você não pode realmente fazer isso, mas com a fantástica invenção de limites, isto é uma espécie do que acontece. Aqui está a definição da integral definida que é usado para calcular áreas exatas.
Conteúdo
o integral definida (“simples“ definição): A área sob uma curva exacta entre X = uma e X = b é dado pelo integral definida, que é definido como o limite de uma soma de Riemann:
É que uma coisa de beleza ou o quê? Note que este somatório (tudo para a direita de “lim”) é idêntica à fórmula para n retângulos certas, Rn:
A única diferença é que você tome o limite do que a fórmula como o número de retângulos se aproxima do infinito
Esta definição da integral definida é a versão simples com base na fórmula retângulo direita. Você verá a definição real-McCoy em um momento, mas porque todas as somas de Riemann para um problema específico tem o mesmo limite - em outras palavras, não importa que tipo de retângulos que você usa - assim como você pode usar a direita; definição retângulo. É o menos complicado e sempre vai ser suficiente.
Aqui é a área exata sob f (X) = X2 + 1 entre X = 0 e X = 3:
Grande surpresa.
Este resultado é bastante surpreendente se você pensar sobre isso. Usando o processo de limite, você recebe um exato resposta de 12 - algo como 12,00 milhões ... para um número infinito de casas decimais - para a área sob a função suave, curvando f (X) = X2 + 1, com base nas áreas dos rectângulos de topo achatado que correm ao longo da curva de uma forma irregular, em dente de serra.
Encontrar a área exata de 12 usando o limite de uma soma de Riemann é um monte de trabalho (lembre-se, você primeiro tem que determinar a fórmula para n retângulos direita). Este método complicado de integração é comparável a determinar um derivado da maneira mais difícil, usando a definição formal que é baseado no quociente diferença.
Uma vez que o limite de todas as somas de Riemann é o mesmo, os limites no infinito de n retângulos esquerdo e n retângulos ponto médio - para f (X) = X2 + 1 entre X = 0 e X = 3 - deve dar-lhe o mesmo resultado que o limite no infinito de n retângulos certas. Aqui é o limite retângulo esquerdo:
Video: Me Salva! INT20 - Área entre duas curvas: Exemplo com integração em "x" e "y"
E aqui está o limite retângulo ponto médio:
Se você é um tanto incrédulo que estes limites realmente dar-lhe o exato área sob f (X) = X2 + 1 entre 0 e 3, você não está sozinho. Afinal, nestes limites, como em todos os problemas de limite, o número seta
é apenas aproximaram- ele nunca realmente alcançado. E em cima disso, o que significaria para alcançar o infinito? Você não pode fazê-lo. E independentemente de quantos retângulos que você tem, você sempre tem que borda irregular, dente de serra. Então, como pode um tal método dar-lhe a área exata?
Olhe isto deste modo. Dê uma olhada nas duas figuras seguintes.
f (X) = X2 + 1.”/>Video: ÁREA BAJO UNA CURVA - Ejercicio 1
Você pode dizer a partir desses números que a soma das áreas de retângulos esquerda, independentemente do seu número, será sempre um sobestimar (este é o caso para as funções que estão a aumentar ao longo do período em questão).
E a partir da figura abaixo, você pode ver que a soma das áreas de retângulos certas, independentemente de quantas você tem, será sempre um sobreestimar (para funções de aumento).
Video: integral definida, cálculo de área e gráfico
