Como avaliar uma integral imprópria que é horizontal infinito

integrais impróprias são úteis para resolver uma variedade de problemas. UMA horizontalmente infinito integral imprópria contém quer ∞ ou -∞ (ou ambos) como um limite de integração.

Avaliando uma integral imprópria é um processo de três etapas:

1. Expressar a integral imprópria como o limite de um integrante adequada.

2. Avaliar a integral por qualquer método funciona.

3. Avaliar o limite.

A integral imprópria horizontal ocorre quando uma integral definida tem um limite de integração que é ou ∞ ou -∞. Este tipo de integral imprópria é fácil de detectar, porque o infinito é logo ali no próprio integral. Não tem como se perder.

Por exemplo, suponha que pretende avaliar a seguinte integral imprópria:

Aqui está como fazê-lo, passo a passo:

1. Expressar a integral imprópria como o limite de um integrante adequada.

   Quando o limite superior da integração é ∞, use esta equação:

   

   Então aqui está o que você faz:

   

2. Avaliar a integral:

   

3. Avaliar o limite:

   

Antes de prosseguir, refletir por um momento que a área sob um infinitamente longo curva é realmente finito. Ah, a magia e poder de cálculo!

Da mesma forma, suponha que pretende avaliar o seguinte:

Veja como fazer isso:

1. Expressar a integral como o limite de um integrante adequada.

   Quando o limite inferior da integração é -∞, use esta equação:

   

   Então aqui está o que você escreve:

   

2. Avaliar a integral:

   

3. Avaliar o limite - neste caso, como c -∞ se aproxima, o primeiro termo não é afectado e o segundo termo se aproxima de 0:

   

Mais uma vez, cálculo diz que, neste caso, a área sob uma infinitamente longa curva é finito.

Claro que, às vezes a área sob uma infinitamente longa curva é infinito. Nestes casos, a integral imprópria não pode ser avaliada porque o limite não existe (DNE). Aqui está um exemplo rápido que ilustra essa situação:

Pode não ser óbvio que essa integral imprópria representa uma área infinitamente grande. Afinal, o valor da função se aproxima 0 como X aumenta. Mas observe como essa avaliação se desenrola:

1. Expressar a integral imprópria como o limite de um integrante adequada:

   

2. Avaliar a integral:

   

Neste ponto, você pode ver que o limite explode ao infinito, por isso não existe. Portanto, a integral imprópria não pode ser avaliada, porque a área que ela representa é infinito.