Como usar a notação sigma para encontrar a área sob a curva
Você pode usar a notação sigma para escrever a soma de Riemann para uma curva. Isso é útil quando você quiser derivar a fórmula para a área aproximada sob a curva. Por exemplo, digamos que você quer encontrar a área aproximada de n
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By the way, você não precisa de notação sigma para a matemática que se segue. É apenas uma “conveniência” - oh, com certeza. Cruze os dedos e esperar o seu professor não decide cobrir isso. Fica bastante deformado.
A regra do ponto médio: Você pode aproximar a área exata sob uma curva entre uma e b,
com uma soma de rectângulos ponto médio dada pela seguinte fórmula. Em geral, quanto mais retângulos, a melhor estimativa.
Onde n é o número de retângulos,
é a largura de cada rectângulo, X0 através Xn são as n + 1 pontos uniformemente espaçados a partir de uma para b, e os valores da função são as alturas dos rectângulos.
Aplicando a regra do ponto médio para este exemplo, você obtém:
Aqui é a mesma fórmula escrita com notação sigma:
(Note que você poderia escrever isso em vez de
que seria mais bem espelhar a fórmula acima, onde o
está no exterior. De qualquer maneira é bom - eles são equivalentes - mas você pode optar por manter a
no interior de modo que o
soma é realmente uma soma de retângulos. Em outras palavras, com a
no lado de dentro, a expressão após a
símbolo,
qual o
símbolo diz-lhe para somar, é a área de cada retângulo, ou seja, altura vezes base.)
Agora resolver isso para os seis retângulos direita na figura.
Video: Somatório
Você está imaginando a área sob X2 + 1 entre X = 0 e X = 3 com seis rectângulos, de modo que a largura de cada,
Em seguida, porque a largura de cada retângulo é
as bordas direitas dos seis retângulos cair sobre os primeiros seis múltiplos de
Video: Notação Sigma para somatórios
Estes números são o X-coordena um dos seis pontos X1 através X6- eles podem ser gerados pela expressão
Onde Eu é igual a 1 a 6. Você pode verificar que isso funciona ligando 1 em para Eu dentro
depois 2, depois 3, até 6. Então, agora você pode substituir o XEu na fórmula com
dando-lhe
A função neste exemplo,
e agora você pode escrever
Se você conectar 1 em Eu, depois 2, depois 3 e assim por diante até 6 e fazer a matemática, você começa a soma das áreas dos retângulos na figura. Esta notação sigma é apenas uma maneira elegante de escrever a soma dos seis retângulos.
Vocês estão se divertindo? Espere, fica pior - desculpe. Agora você está indo para escrever a soma geral para um número desconhecido, n, retângulos da direita. A extensão total da área em questão é de 3, certo? Você divide este período pelo número de retângulos para obter a largura de cada retângulo. Com 6 retângulos, a largura de cada um é
com n rectângulos, a largura de cada um é
E as margens direitas do n retângulos são gerados por
para Eu é igual a 1 a n. Isso dá-lhe
Ou, porque f (X) = X2 + 1,
Video: Aula 7 parte 1 Calculo de Somatório, Foco no comando For
Para esta última etapa, você puxa o
através dos símbolos soma - você está autorizado a retirar qualquer coisa, exceto para uma função de Eu, o assim chamado índice de somatório. Além disso, o segundo somatório na última etapa tem apenas um 1 depois e nenhuma Eu. Portanto, não há nenhum lugar para ligar os valores de Eu. Esta situação pode parecer um pouco estranho, mas tudo que você faz é somar n 1s, o que equivale n (Isto é feito ao lado).
Você já chegou a uma etapa crítica. Com um passe de mágica, você vai transformar essa soma de Riemann em uma fórmula em termos de n.
Agora, como quase ninguém conhece, a soma do primeiro n números quadrados,
(By the way, este 6 tem nada a ver com o fato de que você está usando 6 retângulos). Então, você pode substituir essa expressão para o
na última linha da solução de notação sigma, e ao mesmo tempo substituto n para
O fim. Finalmente! Esta é a fórmula para a área de n retângulos justas entre X = 0 e X = 3 sob a função f (X) = X2 + 1.