Como usar a função langrangian em economia gerencial
situações de negócios são ainda mais complicados por restrições, que podem ser contabilizadas em economia gerencial utilizando o função de Lagrange
Conteúdo
o função de Lagrange é uma técnica que combina a função a ser optimizado com funções que descrevem a restrição ou restrições em uma única equação. Resolvendo a função de Lagrange permite otimizar a variável que você escolher, sem prejuízo das restrições que você não pode mudar.
Como identificar o seu objetivo (função)
o função objetiva é a função que você está otimizando. A variável dependente na função objetivo representa o seu objetivo - a variável que você deseja otimizar. Exemplos de funções objetivo incluem a função de lucro para maximizar o lucro e a função de utilidade para os consumidores a maximizar a satisfação (utilidade).
funções de restrição
UMA função de restrição representa uma limitação em seu comportamento. A variável dependente na restrição representa a limitação. Exemplos de funções de restrição incluem o número de unidades que devem produzir, a fim de satisfazer um contrato eo orçamento disponível para o consumidor.
Como construir a função de Lagrange
A técnica para a construção de uma função de Lagrange é combinar a função objetivo e todas as restrições de uma maneira que satisfaça duas condições. Primeiro, otimizando a função de Lagrange deve resultar na otimização da função objetivo. Em segundo lugar, todas as restrições devem ser satisfeitas. A fim de satisfazer estas condições, use as seguintes etapas para especificar a função de Lagrange.
Assumir você é a variável que está sendo otimizado e que é uma função das variáveis X e z. Assim sendo,
Além disso, existem duas restrições, c1 e c2, que também são funções de X e z;
Video: Me Salva! Cálculo - Multiplicadores de Lagrange, problema da caixa
Os passos seguintes estabelecer a função de Lagrange:
Especifique novamente as restrições para que eles igual zero.
Multiplicar os constrangimentos pelos factores lambda lambda e um dois, ë1 e e2, respectivamente (mais sobre estas num momento).
Adicionar os constrangimentos com o termo lambda para a função de objectivo, a fim de formar a função de Lagrange Â’.
Nesta especificação da função de Lagrange, as variáveis são representadas por X, z, λ 1, e λ 2. Tomando as derivadas parciais da Lagrangeanos no que diz respeito a X 1 e λ 2 e colocá-los igual a zero garantir que suas limitações são satisfeitas, tendo as derivadas parciais da Lagrangeana com respeito a X e z e colocá-los igual a zero otimizar sua função objetivo.
O Multiplicador de Lagrange
economia gerencial tem um monte de atalhos úteis. Um desses atalhos é a λ usado na função de Lagrange. Na função de Lagrange, os constrangimentos são multiplicados pelo λ variável, que é chamado o multiplicador de Lagrange.
Esta variável é importante porque λ mede a mudança que ocorre na variável a ser optimizada dada uma mudança de uma unidade na restrição. Se você está tentando minimizar o custo de produção de uma dada quantidade de produção, λ diz-lhe quanto totais mudanças de custo se você produzir mais uma unidade de produto. Isto permite-lhe avaliar rapidamente as relações entre restrições e a variável que está sendo otimizadas.
Suponha que sua empresa tem um contrato que obriga a produzir 1.000 unidades de um bom dia. A empresa usa trabalho e capital para produzir o bem. A quantidade de trabalho empregue, eu, é medido em horas, e o salário é de $ 10 por hora. A quantidade de capital empregado, K, é medida em máquinas-hora, e o preço por hora máquina é $ 40. Assim, o custo total da sua empresa, TC, é igual a
A função de produção descreve a relação entre as quantidades de trabalho e de capital utilizado e a quantidade dos bens produzidos
Video: Lagrangeano - montando e calculando as demandas 2
Por contrato, q deve ser igual a 1.000. Você deve determinar a quantidade de trabalho e capital de usar, a fim de minimizar o custo de produção de 1.000 unidades do bem.
Criar uma função de Lagrange. Reconhecer que a variável que você está tentando otimizar é o custo total - especificamente, você está tentando minimizar o custo total. Assim, sua função objetiva é 10eu + 40K. Em segundo lugar, a sua restrição é que 1.000 unidades do bem tem que ser produzido a partir da função de produção. Portanto, sua restrição é
1000 - 20eu0,5K0,5 = 0.
Sua função Lagrangiana é
Tome a derivada parcial do lagrangiano em relação ao trabalho e capital - eu e K - e colocá-las igual a zero. Essas equações garantir que a função objetivo está sendo otimizada - neste caso, o custo total é minimizado.
Tomar a derivada parcial da função de Lagrange em relação a E e defini-la igual a zero. Este derivado parcial assegura que a restrição - produzir 1.000 unidades do bem diária - é satisfeito.
Resolver os três derivados parciais, simultaneamente, para as variáveis eu, K, e E para minimizar o custo total de produção de 1.000 unidades do bem.
Reescrever o derivado parcial de Β’com relação a eu permite resolver para λ.
Substituindo a equação anterior para λ no derivado parcial de Β’com relação a K rendimentos
substituta 4K para eu na restrição (parcial do derivado de G em relação a E) para se obter
Assim, sua empresa deve usar 25 horas máquina de capitais diária.
Porque você determinado anteriormente eu = 4K
Finalmente, você pode resolver para λ
Portanto, a combinação de 100 horas de trabalho e 25 horas-máquina de capital de minimizar o custo total da produção de 1.000 unidades do bem diariamente. Além disso, λ é igual a 2. Lembre-se que lambda indica a mudança que ocorre na função objetivo dada uma mudança de uma unidade na restrição. Assim, se sua empresa quer produzir mais uma unidade do bem, o total de aumentos de custos de US $ 2.