Como avaliar uma integral imprópria que é verticalmente infinita

integrais impróprias são úteis para resolver uma variedade de problemas. UMA verticalmente infinito

integral imprópria contém, pelo menos, uma assíntota vertical. Verticalmente infinitas integrais impróprias são mais difíceis de reconhecer que aqueles que estão na horizontal infinito. Um integrante deste tipo contém pelo menos uma assíntota vertical na área que você está medindo. (UMA assíntota vertical é um valor de X Onde f(X) É igual a um ou -). A assíntota pode ser um limite de integração ou pode cair em algum lugar entre os dois limites de integração.

Não tente deslizar por e avaliar integrais impróprias como integrais adequadas. Na maioria dos casos, você vai ter a resposta errada!

Há dois casos em que você precisa para lidar com integrais impróprias verticalmente infinitas.

Manipulação de limites assintóticos de integração

Suponha que você queira avaliar a seguinte integral:

À primeira vista, você pode ser tentado a avaliar isso como um integrante adequada. Mas esta função tem uma assíntota em X = 0. A presença de uma assíntota em um dos limites da integração obriga a avaliar este como uma integral imprópria.

1. Expressar a integral como o limite de um integrante adequada:

   

   Observe que neste limite, c se aproxima de 0 da direita - isto é, do lado positivo - porque esta é a direção da abordagem de dentro os limites de integração. (Isso é o que o pequeno sinal de mais no limite significa.)

2. Avaliar a integral:

   Esta integral é facilmente avaliada como

   

   Usando a regra de energia:

   

3. Avaliar o limite:

   

   Neste ponto, substituição direta fornece-lhe com a sua resposta final:

   = 2

Remendar integrandos juntos descontínuos

Se a função é contínua em um intervalo, também é integrável em que intervalo. Algumas integrais que são verticalmente infinita tem asymptotes não nas bordas, mas em algum lugar no meio. O resultado é um integrando descontínua - isto é, uma função com uma descontinuidade no intervalo que você está tentando integrar.

integrandos descontínuos são os mais difíceis integrais impróprias para manchar - você realmente precisa saber como o gráfico da função que você está integrando comporta.

Para avaliar uma integral imprópria deste tipo, separá-lo em cada assíntota em duas ou mais integrais. Em seguida, avaliar cada um dos integrais resultantes como uma integral imprópria.

Por exemplo, suponha que pretende avaliar a seguinte integral:

Uma vez que o gráfico de sec X contém uma assíntota em

o gráfico da seg² X tem uma assíntota no mesmo lugar. Por exemplo, um gráfico do integral imprópria

em mostrada nesta figura.

Para avaliar esta integral, dividi-lo em duas integrais no valor de X onde a assíntota está localizado:

Agora avaliar a soma das duas integrais impróprias resultantes.

Você pode salvar um monte de trabalho por perceber quando duas regiões são simétricas. Neste caso, a assíntota no

divide a área sombreada em duas regiões simétricas. Então você pode encontrar um integral e, em seguida, dobrá-lo para obter a sua resposta:

Agora avaliar esta integral:

Video: Grings - Integral Imprópria

1. Expressar a integral como o limite de um integrante adequada:

   

   Neste caso, a assíntota vertical está no limite superior da integração, de modo c abordagens

   

   da esquerda - isto é, de dentro do intervalo em que você está medindo a área.

2. Avaliar a integral:

   

3. Avaliar o limite:

   Observe que

   

   é indefinido, porque a função de tan X tem uma assíntota em

   

   Video: Disciplina de Cálculo 1 -- Exercícios resolvidos integrais impróprias Semana 15Video 30

   então o limite não existe (DNE). Portanto, a integral que você está tentando avaliar também não existe porque a área que ela representa é infinito.