Usando o teorema do valor médio para integrais

o Teorema do valor médio

para Integrais garante que para cada integral definida, um retângulo com a mesma área e largura existe. Além disso, se você sobrepor este retângulo sobre a integral definida, a parte superior do retângulo intercepta a função. Este retângulo, por sinal, é chamado de -Valor médio rectângulo para isso integral definida. Sua existência permite calcular o valor médio da integral definida.

Video: Teorema do valor médio

orgulha de cálculo dois Valor médio do teoremas - um para os derivados e um para integrais. Aqui, você vai olhar para o Teorema do Valor Médio para Integrais. Você pode descobrir mais sobre o Teorema do Valor Médio de Derivativos em Calculus For Dummies por Mark Ryan (Wiley).

A melhor maneira de ver como este teorema funciona é com um exemplo visual:

O primeiro gráfico na figura mostra a região descrita pela integral definida

Esta região, obviamente, tem uma largura de 1, e você pode avaliá-lo facilmente para mostrar que a sua área é

O segundo gráfico na figura mostra um rectângulo com uma largura de 1 e uma área de

Ela deveria vir como nenhuma surpresa que a altura desse retângulo é também

de modo que o topo desta retângulo intercepta a função original.

O fato de que a parte superior da média de valor retângulo intercepta a função é principalmente uma questão de senso comum. Depois de tudo, a altura do rectângulo representa o valor médio alcança a que a função de ao longo de um determinado intervalo. Este valor deve cair em algum lugar entre os valores máximos e mínimos da função naquele intervalo.

Video: EFB105 – Cálculo Diferencial e Integral I Teorema do Valor Médio 01]

Aqui está a declaração formal do Teorema do Valor Médio para Integrais: Se f(X) É uma função contínua no intervalo fechado [uma, b], Então existe um número c nesse intervalo tal que:

Esta equação pode parecer complicado, mas é basicamente uma reafirmação desta equação familiar para a área de um retângulo:

Área = Altura · Largura

Em outras palavras, começar com um integral definida que expressa uma área, e, em seguida, desenhar um rectângulo de igual área com a mesma largura (b - uma). A altura desse retângulo - f(c) - é tal que o seu bordo superior intercepta a função onde X = c.

O valor que f(c) é o valor médio do f(X) Ao longo do intervalo [uma, b]. Pode-se calcular que, reorganizando a equação indicada no teorema:

Por exemplo, aqui está uma figura que ilustra a integral definida

Video: Teorema del valor medio para la integral, demostración y ejemplo

e o seu valor médio rectângulo.

Video: Teorema del Valor Medio - Ejercicio Resuelto - Materapidas - Calculo Integral

Agora, aqui está como você calcular o valor médio da área sombreada:

Não surpreendentemente, o valor médio desta integral é 30, um valor entre o mínimo da função de 8 e seu máximo de 64.