Como medir a área de troca sob uma curva

Você pode usar uma função área para medir a área sob uma curva, assim como as mudanças da área. Por exemplo, digamos que você tem qualquer função de idade, f

(t). Imagine que em algum t-valor, chamá-lo s, você desenhar uma linha vertical fixo, como mostrado aqui.

Video: Área entre Curvas

Então você pega uma linha vertical móvel, começando no mesmo ponto, s ( “s" é para iniciando ponto), e arraste-o para a direita. À medida que arrasta a linha, você varrer uma área cada vez maior sob a curva. Esta área é uma função da X, a posição da linha de movimento. Em símbolos, você escreve

Video: GRINGS-Cálculo de área com integrais aula 2

Observe que t é a variável de entrada em f (t) ao invés de X Porque X já está tomada - é a variável de entrada em UMA_f (X). o subscrito f dentro UMA_f indica que UMA_f (X) É a função de área para a curva determinada f ou f (t). o dt é um pouco de incremento ao longo do t-eixo - na verdade um infinitamente pequeno incremento.

Video: Medir área de curvas no AutoCAD

Aqui está um exemplo simples para se certificar de que você tem uma alça sobre como uma função área funciona. By the way, não se sinta mal se você encontrar este extremamente difícil de entender - você tem muita companhia. Digamos que você tem a função simples, f (t) = 10, que é uma linha horizontal na y = 10. Se você varrer a área com início às s = 3, você recebe a seguinte função área:

Você pode ver que a área varrida para fora 3-4 é 10 porque, arrastando a linha 3-4, você varrer um retângulo com uma largura de 1 e uma altura de 10, que tem uma área de 1 vezes 10, ou 10, como mostrado aqui.

Assim, UMA_f (4), a área varrida para fora como você acertar 4, é igual a 10. UMA_f (5) é igual a 20 porque quando você arrastar a linha para 5, você varreu um retângulo com uma largura de 2 e altura de 10, que tem uma área de 2 vezes 10, ou 20. UMA_f (6) é igual a 30, e assim por diante.

Agora, imagine que você arraste a linha em toda a uma taxa de uma unidade por segundo. Você começa no X = 3, e você acertar 4 a 1 segundo, 5 a 2 segundos, 6 a 3 segundos, e assim por diante. Quanto área que você está varrendo por segundo? Dez unidades quadrados por segundo porque cada segundo você varrer outro retângulo 1-por-10. Aviso - este é enorme - isso porque a largura de cada retângulo que você varrer é 1, a área de cada retângulo - que é dada por altura vezes largura - é o mesmo que a sua altura, porque os tempos qualquer coisa 1 é igual a si mesmo. Você vê por que isso é enorme em um minuto. (By the way, a taxa real você se preocupa aqui não é área varrida por segundo, mas, ao invés, a área varrida por unidade de mudança na X-eixo. Este exemplo explica isso em termos de por segundo porque é mais fácil pensar sobre uma taxa de-área varrendo-out desta forma. E uma vez que você está arrastando a linha em toda a um x-unidade por eixo 1 em segundo lugar, ambos os preços são os mesmos. Faça sua escolha.)

O derivado de uma função de área é igual à taxa de área a ser varrido para fora. Ok, você está sentado? Você alcançou outro da grande Ah ha! momentos na história da matemática. Lembre-se que um derivado é uma taxa. Então, porque a taxa na qual a função área anterior cresce é de 10 unidades quadrados por segundo, você pode dizer a sua derivada é igual a 10. Assim, você pode escrever

Novamente, isso apenas diz-lhe que a cada aumento de 1 unidade X, UMA_f (A função área) vai até 10. Agora aqui é a coisa crítica: Observe que esta taxa ou derivado de 10 é o mesmo que a altura da função original f (t) = 10 porque, como você atravessar uma unidade, você varrer um retângulo que é 1 por 10, que tem uma área de 10, a altura da função.

E a taxa funciona a 10, independentemente da largura do retângulo. Imagine que você arraste a linha vertical a partir X = 4 a X = 4,001. A uma taxa de uma unidade por segundo, que vai levá-lo 1/1000^º segundo, e você vai varrer um retângulo magro, com uma largura de 1/1000, uma altura de 10, e, portanto, uma área de 10 vezes 1/1000, ou 1/100 unidades quadradas. A taxa de área a ser varrido para fora seria, portanto,

o que equivale a 10 unidades quadrados por segundo. Então você vê que, com cada pequeno incremento ao longo do X-eixo, a taxa de área a ser varrido para fora é igual a altura da função.

Isso funciona para qualquer função, não apenas linhas horizontais. Olhe para a função g (t) E a sua função área UMA_g (X) Que varre a área começando no s = 2 na figura a seguir.

Entre X = 3,6 e X = 3,7, UMA_g (X) Cresce pela área do que magro, escuro sombreado “retângulo”, com uma largura de 0,1 e uma altura de cerca de 15. (Como você pode ver, não é realmente um rectangle- é mais perto de um trapézio, mas não é que seja porque seu minúsculo top está curvando-se ligeiramente. Mas, no limite, como a largura fica menor e menor, o “rectângulo” magro se comporta exatamente como um retângulo real.) Então, para repetir, UMA_g (X) Cresce pela área de que escuro “rectângulo”, que tem uma área extremamente perto de 0,1 vezes 15, ou seja, 1,5. Essa área é varrida para fora em 0.1 segundos, então a taxa de área a ser varrido para fora é

ou 15 unidades quadrados por segundo, a altura da função. Essa idéia é tão importante que merece ser repetida:

O varrendo taxa de área é igual à altura. o taxa da área a ser varrido para fora sob uma curva por uma função de área a um determinado X-valor é igual ao altura da curva em que X-valor.