Análise de s-domain: compreendendo pólos e zeros de f (s)

Laplace pode ser usado para prever o comportamento de um circuito. A transformada de Laplace tem uma função no domínio do tempo f (t)

, e transforma-lo para a função F (s) no s-domínio. Você pode ver as transformadas de Laplace F (s) como rácios de polinómios no s-domínio. Se você encontrar as raízes reais e complexas (pólos) destes polinômios, você pode ter uma idéia geral do que a forma de onda f (t) será semelhante.

Por exemplo, como mostrado nesta tabela, se as raízes são reais, então a forma de onda é exponencial. Se eles&rsquo-re imaginário, então&rsquo-s uma combinação de senos e co-senos. E se eles&rsquo re-complexo, então&rsquo-s uma sinusóide de amortecimento.

As raízes do polinômio no numerador F (s) estamos zeros, e as raízes do polinômio no denominador são pólos. Os pólos resultar em F (s) explodindo ao infinito ou ser indefinido - eles&rsquo-re as assíntotas verticais e buracos em seu gráfico.

Normalmente, você cria um pólo-zero diagrama representando graficamente as raízes no s-plano (real e eixos imaginários). O diagrama de pólo zero proporciona uma vista geométrico e interpretação geral do comportamento do circuito.

Por exemplo, considere transformar o seguinte Laplace F (s):

Esta expressão é um rácio de duas em polinómios s. Factoring o numerador eo denominador lhe dá a seguinte descrição Laplace F (s):

o zeros, ou raízes do numerador, são s = -1, -2. o pólos, ou raízes do denominador, são s = -4, -5, -8.

Ambos os pólos e zeros são chamados coletivamente frequências críticas porque o comportamento de saída louco ocorre quando F (s) vai a zero ou explode. Ao combinar os pólos e zeros, tem o seguinte conjunto de frequências críticas: {-1, -2, -4, -5, -8}.

Este diagrama de pólo-zero traça estas frequências críticas na s-plano, proporcionando uma vista geométrico de comportamento do circuito. Neste diagrama de pólo zero, X designa pólos e S indica os zeros.

Video: Conceitos de pólos e zeros de sistemas

Aqui estão alguns exemplos dos pólos e zeros da transformada de Laplace, F (s). Por exemplo, a transformada de Laplace F₁(S) para um amortecimento exponencial tem um par de transformadas como se segue:

O exponencial transformar F₁(S) tem um pólo em s = -&alfa- e não há zeros. Aqui, você vê o pólo de F₁(S) plotada no eixo real negativo na metade plano esquerdo.

Video: Sistemas de Controle (7/8) Efeito da adição de polos e zeros na estabilidade

A função de seno tem o seguinte par transformada de Laplace:

A equação anterior não tem zeros e dois pólos imaginários - em s = + j&beta- e s = -j&beta-. pólos imaginários sempre vêm em pares. Estes dois pólos são não amortecido, porque sempre postes encontram-se no eixo imaginário j&ómega-, a função f (t) irá oscilar para sempre, sem nada para amortecer-lo. Aqui, você vê um gráfico do diagrama de pólo-zero para uma função seno.

Uma função de rampa tem a seguinte transformada de Laplace par:

A função de rampa tem pólos duplas na origem (s = 0) e não tem zeros.

Aqui&rsquo-s um par de transformadas para um sinal cosseno amortecido:

A equação anterior tem dois pólos no complexos s = &alfa- + j&beta- e s = &alfa- - j&beta- e um zero no s = -&alfa-.

pólos complexos, como pólos imaginários, sempre vêm em pares. Sempre que você tem um par complexo de pólos, a função tem oscilações que serão amortecidas para fora a zero no tempo - eles ganharam&rsquo-t durar para sempre. O comportamento sinusoidal amortecido consiste de uma combinação de uma exponencial (devido à parte real &alfa- do número complexo) e oscilador sinusoidal (devido à parte imaginária &beta- do número complexo).

Aqui, você vê representado o diagrama de pólo-zero para um cosseno amortecido.