Curvas de cruzamento: encontrar as interseções de parábolas e círculos

Quando uma parábola e círculo se cruzam, as possibilidades para o encontro são muitos e variados. As duas curvas podem se cruzam em até quatro pontos diferentes, ou talvez três, ou apenas dois ou mesmo apenas um ponto.

Manter suas opções abertas e estar alerta para tantas soluções comuns quanto possível (direita - até quatro). E, sim, o sistema pode não ter solução. As curvas podem falta um do outro completamente.

Para esses problemas, você geralmente se voltam para substituição. No entanto, você não tem que definir uma das equações igual a X ou y por si próprio. Você pode resolver uma equação para 4X ou (y - 3)² ou algum outro termo que aparece na outra equação. Enquanto os termos corresponder, você pode trocar um valor para o outro.

Exemplos de perguntas

1. Encontrar as soluções comuns do círculo (X - 2)² + (y - 2)² = 4 e a parábola doisy = X² - 4X + 4.

   (0, 2), (2, 0), (4, 2). Voltar a escrever a equação da parábola como doisy = (X - 2)². Em seguida, substituir o (X- 2)² prazo na primeira equação com doisy e simplificar: 2y + (y - 2)² 4- = 2y + y² - 4y + 4 = 4- y² - 2y = 0.

   Fator os termos do lado esquerdo para obter y(y - 2) = 0. Assim, y = 0 ou y = 2. Deixando y = 0 na equação da parábola, você tem 2 (0) = X² - 4X + 4, ou 0 = (X - 2)². Então quando y = 0, X = 2.

   Em seguida, vamos y = 2 na equação parábola. Você ganha 2 (2) = X² - 4X + 4- 4 = X² - 4X + 4- 0 = X² - 4X. Factoring, 0 = X(X - 4), assim X = 0 ou X = 4. Quando y = 2, X = 0 ou 4.

2. Encontrar as soluções comuns de X² + y² = 100 e y² + 6X = 100.

   (0, 10), (0, -10), (6, 8), (6, -8). Resolvendo a segunda equação para y², você começa y² = 100-6X. Substitua o y² na primeira equação com seu equivalente para obter X² + 100-6X = 100.

   Simplificar e factoring, a equação se torna X² - 6X = X(X - 6) = 0. Assim, X = 0 ou X = 6. Substituindo X com 0 na equação da parábola, y² = 100- y = +/- 10. substituir X com 6 na equação da parábola, y² + 36 = 100- y² = 64 y = +/- 8.

questões práticas

1. Encontrar as soluções comuns de X² + y² = 25 e X² + 4y = 25.

2. Encontrar as soluções comuns de X² + y² = 9 e 5X² - 6y = 18.

Seguem-se respostas para as questões práticas:

1. A resposta é (5, 0), (-5, 0), (3, 4), (-3, 4).

   Video: Aula 56 - Reta tangente da curva obtida pela interseção de duas superfícies

   
   
   
   

   Resolver o segundo equação para X² (Você começa X² = 25-4y) E substituir o X² na primeira equação com o seu equivalente. A nova equação lê 25-4y + y² = 25. Simplificando, você começa y² - 4y = 0.

   Esta equação para factores y(y - 4) = 0. As duas soluções são y = 0 e y = 4. Volte para a segunda equação, a equação da parábola, porque tem apenas um quadrado prazo (tem expoentes mais baixas, de modo a escolher esta equação permite evitar soluções estranhas).

   Substitua o y nessa equação com 0 para obter X² + 4 (0) = 25- X² = 25. Essa equação tem duas soluções: X = 5 ou X = -5. Agora, voltando e substituindo o y com 4 na equação da parábola, X² + 4 (4) = 25- X² + 16 = 25- X² = 9.

   Esta equação também tem duas soluções: X = 3 ou X = -3. Emparelhando-se a y‘S e suas respectivas X‘S, você tem as quatro soluções diferentes. O círculo e parábola se cruzam em quatro pontos distintos.

2. A resposta é

   
   

   (0, -3).

   eliminar a X termos: Multiplique os termos da primeira equação por -5 (o que lhe dá -5X² - 5y²= -45) e adicionar as duas equações juntos. A equação resultante é -5y² - 6y = -27.

   Reescrever a equação, definindo-o igual a 0, e fator. Você começa 0 = 5y² + 6y - 27 = (5y - 9) (y + 3). Use a propriedade multiplicação de zero a resolver para as duas soluções desta equação. substituindo o y na segunda equação (a equação da parábola) com

   Video: Matemática - Aula 5 - Função do Segundo Grau - Parte 6

   

   você começa

   

   Em seguida, dividir ambos os lados da equação por 5 e extrair a raiz quadrada de cada lado:

   

   Para encontrar a outra solução, deixe o y na equação da parábola ser igual a -3. Você ganha 5X² - 6 (-3) = 18- 5X² + 18 = 18- 5X² = 0. Assim, X = 0. O círculo e parábola se cruzam ou toque em três pontos distintos.