Encontrar as intersecções das linhas e parábolas

Video: Intersecções com os eixos x e y

Uma linha pode cortar através de uma parábola em dois pontos, ou pode ser apenas tangente à parábola e tocá-lo em um ponto. E então, infelizmente, uma linha e uma parábola pode nunca se encontram. Ao resolver sistemas de equações envolvendo linhas e parábolas, você costuma usar o método de substituição - resolvendo para X ou y na equação da linha e substituindo para a equação da parábola.

Às vezes, as equações se prestam a eliminação - quando adicionar as equações (ou múltiplos de equações), juntamente elimina uma das variáveis ​​inteiramente porque seu coeficiente se torna 0. Eliminação funciona apenas ocasionalmente, mas a substituição sempre funciona.

Exemplos de perguntas

1. Localizar a solução comum (s) nas equações y = -5X² + 12X + 3 e 8X + y = 18.

   Os pontos de intersecção são (1, 10), (3, -6). Aqui está outra maneira de escrever esta solução: Quando X = 1, y = 10, e quando X = 3, y = -6. Para encontrar essas soluções, reescrever a equação da linha de y = 18-8X.

   Substitua o y na equação da parábola com o seu equivalente para obter 18-8X = -5X² + 12X + 3. Mova todos os termos para a esquerda e combinar os termos semelhantes, dando-lhe 5X² - 20X + 15 = 0. Divide cada termo por 5 e, em seguida, fator, que lhe dá a equação 5 (X² - 4X + 3) = 5 (X - 3) (X - 1) = 0.

   Usando a propriedade multiplicação de zero (para que um produto para igual a 0, um dos fatores deve ser 0), você sabe que X = 3 ou X = 1. Substitua esses valores de volta para a equação da linha para obter o correspondente y-valores.

   Sempre substituir volta na equação com os expoentes mais baixos. Você pode evitar a criação de soluções estranhas.

2. Localizar a solução comum (s) nas equações y = X² - 4X e 2X + y + 1 = 0

   (1, -3). Resolva para y na equação da linha para obter y = -2X - 1. Substituto este valor na equação da parábola para obter -2X - 1 = X² - 4X. Movendo-se os termos para a direita e simplificando, 0 = X² - 2X + 1 = (X - 1)².

   A única solução é X = 1. Substituindo X com 1 na equação da linha, você achar que y = -3. A linha é tangente à parábola no ponto de intersecção, que é por isso que este problema só tem uma solução.

Video: Intersecções de cônicas - Parábola e Reta

questões práticas

1. 
   
   
   

   Localizar a solução comum (s) nas equações y = X² + 4X + 7 e 3X - y + 9 = 0.

2. Localizar a solução comum (s) nas equações y = 4X² - 8X - 3 e 4X + y = 5.

Video: Intersecção de cônicas - Elipse e parábola

Seguem-se respostas para as questões práticas:

1. A resposta é (-2, 3), (1, 12).

   Resolva para y na segunda equação (você começa y = 3X + 9), e substituto que na equação da parábola: 3X + 9 = X² + 4X + 7. Mova todos os termos para a direita e fator da equação: 0 = X² + X - 2 = (X + 2) (X - 1).

   Assim, X = -2 ou 1. Deixando X = -2 na equação da linha, 3 (-2) - y + 9 = 0- -6 - y + 9 = 0- -y = -3- y = 3. E quando X = 1 na equação da linha, 3 (1) - y + 9 = 0- 3 - y + 9 = 0- -y = -12- y = 12.

   Quando a solução para a segunda coordenada na solução de um sistema de equações, a equação mais simples utilizar - a um com os expoentes menores - para evitar a introdução de soluções estranhas.

2. A resposta é (-1, 9), (2, -3).

   Video: 28. Equação da Parábola. | Geometria Analítica

   Resolva para y na segunda equação (você começa y = 5-4X) E substituir o equivalente de y na equação da parábola: 5-4X = 4X² - 8X - 3. Mova todos os termos para a direita e fator da equação: 0 = 4X² - 4X - 8 = 4 (X² - X - 2) = 4 (X + 1) (X - 2).

   Usando a propriedade multiplicação de zero, você achar que X = -1 ou X = 2. Quando X = -1 na equação da linha, 4 (-1) + y = 5- -4 + y = 5- y = 9. E substituindo X = 2 na equação da linha, 4 (2) + y = 5- 8 + y = 5- y = -3.