Como gráficos de derivados diferem dos gráficos de funções
Quando você começar a olhar para gráficos de derivados, você pode facilmente cair em pensar neles como funções regulares - mas eles não são. Felizmente, você pode aprender muito sobre as funções e seus derivados, olhando para o seu lado a lado gráficos e comparando as suas características importantes. Por exemplo, pegue a função, f
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f (X) = 3X5 - 20X3 e a sua primeira derivadaVocê está indo agora para viajar ao longo f da esquerda para a direita, parando para observar os seus pontos de interesse e também observando o que está acontecendo com o gráfico de
nos mesmos pontos. Mas primeiro, veja o seguinte aviso (longo).
Esta não é a função! Como você olhar para o gráfico de
na figura, ou o gráfico de qualquer outro derivado, você pode precisar de tapa-se no rosto a cada minuto ou mais para lembrar-se que “Este é o derivado Eu estou olhando, não a função!”É fácil confundir gráficos de derivados para funções regulares. Você pode, por exemplo, olhar para um intervalo que vai-se no gráfico de um derivado e erroneamente concluir que a função original deve também estar a subir no mesmo intervalo - um erro compreensível.
Você sabe que a primeira derivada é a mesma coisa que encosta. Então, quando você ver o gráfico da primeira derivada indo para cima, você pode pensar: “Ah, a primeira derivada (a inclinação) vai para cima, e quando a inclinação sobe isso é como subir uma colina, de modo que a função original deve ser subindo.”Isso parece razoável porque, folgadamente falando, você pode descrever a parte da frente de uma colina como um declive que vai para cima, aumentando. Mas matematicamente falando, a parte da frente de uma colina tem uma positivo inclinação, não necessariamente um aumentando declive. Assim, em que uma função está a aumentar, o gráfico do seu derivado será positivo, mas esse gráfico derivado pode estar indo para cima ou para baixo.
Digamos que você está subindo uma colina. Ao se aproximar do topo da colina, você ainda vai acima, mas, em geral, o declive (A inclinação) vai baixa. Pode ser 3, depois 2, depois 1, e em seguida, no topo da colina, a inclinação é zero. Assim, a inclinação está ficando menor ou decrescente, mesmo quando você está escalando a colina ou aumentando. Numa tal forma de intervalo, o gráfico da função é aumentando, mas o gráfico do seu derivado é decrescente. Percebido?
Ok, vamos voltar para o f e o seu derivado na figura. Começando à esquerda e viajar para a direita, f aumenta até o máximo local em (-2, 64). Vai-se, pelo que a sua inclinação é positivo, mas f está ficando cada vez menos íngreme que a sua inclinação é decrescente - a inclinação diminui até que se torne zero no pico. Isto corresponde ao gráfico de
(O declive) que é positivo (Porque é acima da X-eixo) mas decrescente como ele vai para baixo ao ponto (2, 0). Vamos resumir toda a sua viagem ao longo f e
Video: Análise de Gráficos que Representam Função e Teste da Reta Vertical | MEM #19
com a seguinte lista de regras.
A aumentando intervalo de uma função corresponde a um intervalo no gráfico de um seu derivado que é positivo (ou zero para um único ponto, se a função tem um ponto de inflexão horizontal). Em outras palavras, o aumento do intervalo de uma função corresponde a uma parte do gráfico derivado que é acima da X-eixo (ou que toca o eixo para um ponto único no caso de um ponto de inflexão horizontal). Veja intervalos A e F na figura.
Um local max no gráfico de uma função (como (-2, 64) corresponde a um zero (a X-intercepto) em um intervalo do gráfico do seu derivado que atravessa a X-eixo vai baixa (Como em (2, 0)).
Video: Pré-Cálculo 19 - FUNÇÕES: ESBOÇO DO GRÁFICO DE VÁRIAS FUNÇÕES
Em um gráfico derivado, você‘tenho um m-eixo. Quando você está olhando para vários pontos no gráfico derivado, não se esqueça que o y-coordenada de um ponto, como (2, 0), em um gráfico de uma primeira derivada diz-lhe o declive da função original, não a sua altura. Pense no y-eixo no primeiro gráfico derivado como o declive-ou o eixo m-de cada eixo que você poderia pensar de pontos gerais sobre o primeiro gráfico derivado como tendo coordenadas (X, m).
UMA decrescente intervalo de uma função corresponde a uma negativo intervalo no gráfico da derivada (ou zero para um único ponto, se a função tem um ponto de inflexão horizontal). O intervalo negativo no gráfico derivado está abaixo do X-eixo (ou, no caso de um ponto de inflexão horizontal, o gráfico derivado toca o X-eixo num ponto único). Ver intervalos B, C, D, e E na figura (mas considerá-los como uma única secção), onde f vai para baixo todo o caminho desde o máximo local em (-2, 64) para o local em min (2, -64) e onde
é negativa entre a (-2, 0) e (2, 0), excepto por no ponto (0, 0) sobre
o que corresponde ao ponto de inflexão na horizontal f.
Um local min no gráfico de uma função corresponde a um zero (um X-intercepto) em um intervalo do gráfico do seu derivado que atravessa a X-eixo indo para cima (como em (2, 0)).
Agora vamos dar uma segunda viagem ao longo f considerar seus intervalos de concavidade e seus pontos de inflexão. Primeiro, considere intervalos A e B na figura. O gráfico de f é baixo côncavo - o que significa a mesma coisa que um decrescente slope - até chegar ao ponto de inflexão em cerca de (-1,4, 39,6).
Assim, o gráfico de
diminui até que as partes inferiores a cerca de (-1,4, -60). Estas coordenadas dizer que o ponto de inflexão em -1.4 na f tem uma inclinação de -60. Note-se que a inflexão apontar na f em (-1,4, 39,6) é o ponto mais íngreme no que se estendem da função, mas que tem o menor inclinação, porque a sua inclinação é a maior negativo que a inclinação em qualquer outro ponto nas proximidades.
Entre (-1,4, 39,6) e o próximo ponto de inflexão em (0, 0), f é côncava para cima, o que significa a mesma coisa que um aumentando declive. Assim, o gráfico de
aumenta de cerca de -1.4 para onde ela atinge um máximo local em (0, 0). Veja intervalo C na figura. Vamos fazer uma pausa esta viagem para mais algumas regras.
A côncava baixa intervalo no gráfico de uma função corresponde a uma decrescente intervalo no gráfico de seus derivados (intervalos A, B, e D na figura). E um côncavo acima intervalo na função corresponde a uma aumentando intervalo no derivado (intervalos de C, E, e F).
A ponto de inflexão em uma função (excepto para um ponto de inflexão vertical em que o derivado é indefinido) corresponde a um extremo local no gráfico de um seu derivado. Um ponto de inflexão mínimo inclinação (na sua vizinhança) corresponde a um local, min no derivado graph- um ponto de inflexão de máximo inclinação (na sua vizinhança) corresponde a um local, max no gráfico derivado.
Retomando a sua viagem, depois de (0, 0), f é côncava para baixo até o ponto de inflexão em cerca de (-1,4, 39,6) - isso corresponde à secção decrescente de
Video: Funções: Construção de Gráficos (Aula 5 de 15)
a partir de (0, 0) a sua min a (1.4, -60) (D intervalo na figura). Finalmente, f é côncava para cima o resto do caminho, o que corresponde à secção crescente de
começando em (1.4, -60) (intervalos E e F na figura).
Bem, que praticamente traz para o fim da estrada. Frente e para trás entre os gráficos de uma função e do seu derivado pode ser muito tentando em primeiro lugar. Se a sua cabeça começa a girar, fazer uma pausa e voltar a essas coisas mais tarde.
Agora, olhe novamente para o gráfico da derivada,
Video: Funções - Gráficos de funções
na figura e também no gráfico de sinal para
na figura a seguir.
