Como avaliar o volume de um sólido de revolução

Você pode avaliar o volume de um sólido de revolução. Um sólido de revolução é criado tendo uma função de, ou parte de uma função, e girando-a em torno de um eixo - na maioria dos casos, quer o X

Um sólido de revolução de y = 2 sin X em volta do X-eixo.

Por exemplo, o lado esquerdo da figura mostra a função y = 2 sin X entre X = 0 e

Cada sólido de revolução tem secções transversais circulares perpendiculares ao eixo de revolução. Quando o eixo de revolução é a X-eixo (ou qualquer outra linha que é paralela com o X-eixo), você pode usar o método de carne slicer diretamente.

Video: Cálculo I - Aula 24 - Volumes de Sólidos de Revolução

No entanto, quando o eixo de revolução é a y-eixo (ou qualquer outra linha que é paralela com o y-eixo), é necessário modificar o problema.

Para calcular o volume deste sólido de revolução, utilizar o método de carne fatiador:

1. Encontrar uma expressão que representa a área de uma secção transversal aleatório do sólido (em termos de X).

   Esta secção transversal é um círculo com um raio de 2 sin X:

   
   
   
   

   

   Video: Cálculo Integral: Volume de um sólido de revolução

2. Use esta expressão para construir uma integral definida (em termos de dx) Que representa o volume do sólido.

   Desta vez, os limites de integração são de 0 a pi / 2:

   

   Video: Cálculo - 3 - integrais - 6 - volume de um sólido de revolução ex 1 e 2

3. Avalie esta integral usando a fórmula meio ângulo de Sines:

   

   Agora avaliar:

   

Assim, o volume desse sólido de revolução é de aproximadamente 9,8696 unidades cúbicas.