Como usar o método de shell para medir o volume de um sólido

o método de shell

permite medir o volume de um sólido medindo o volume de muitas superfícies concêntricas de volume, chamado de “conchas”. Embora o método shell funciona somente para sólidos com seção circular, que é ideal para sólidos de revolução ao redor do y-eixo, porque você não tem que usar inversas de funções.

Veja como funciona:

1. Encontre uma expressão que representa a área de uma concha aleatório do sólido em termos de X.

2. Use esta expressão para construir uma integral definida (em termos de dx) Que representa o volume do sólido.

3. Avaliar este integral.

Você pode usar uma lata de sopa - ou qualquer outra lata que tem uma etiqueta de papel sobre ela - como uma ajuda visual útil para lhe dar uma visão sobre como o método de shell funciona. Para começar, vá até a despensa e obter uma lata de sopa.

Suponha que a sua lata de sopa é o tamanho industrial, com um raio de 3 polegadas e uma altura de 8 polegadas. É possível utilizar a fórmula para um cilindro para descobrir o seu volume como se segue:

V = UMA_b · h = 3²π · 8 = 72π

Você também pode usar o método de shell, mostrado aqui.

Para entender o método de shell, corte etiqueta de papel da lata na vertical, e retire-o com cuidado da lata, como mostrado na figura. (Enquanto você está nisso, ter um momento para ler o rótulo para que você não é deixado com “sopa mistério.”)

Observe que a etiqueta é simplesmente um retângulo. O seu lado mais curto é igual em comprimento à altura da lata (8 polegadas) e o seu lado mais comprido é igual à circunferência (2π · 3 polegadas = 6π polegadas). Assim, a área deste retângulo é 48π polegadas quadradas.

Agora aqui é a etapa crucial: Imagine que toda a lata é composta de um número infinito de etiquetas embrulhadas concentricamente em torno de si, todo o caminho até seu núcleo. A área de cada um desses retângulos é:

UMA = 2π X · 8 = 16π X

a variável X neste caso é possível qualquer raio, a partir de 0 (o raio do círculo no centro da lata) a 3 (o raio do círculo na borda externa). Veja como utilizar o método de shell, passo a passo, para encontrar o volume da lata:

Video: Me Salva! GE04 - Sólidos 1, Cubo

1. Encontre uma expressão que representa a área de uma concha aleatório da lata (em termos de X):

   UMA = 2π X · 8 = 16π X

2. Use esta expressão para construir uma integral definida (em termos de dx) Que representa o volume da lata.

   Lembre-se que com o método de shell, você está adicionando-se todas as conchas do centro (onde o raio é 0) para a borda externa (onde o raio é 3). Portanto, use estes números como os limites da integração:

   

3. Avalie esta integral:

   

   Agora avaliar esta expressão:

   Video: Volumen de un sólido de revolución usando arandelas - Ejercicio 1

   8 =π (3)² - 0 = 72π

   O método concha verifica que o volume da lata é 72π polegadas cúbicas.