Como usar eliminação de gauss para resolver sistemas de equações

eliminação de Gauss é provavelmente o melhor método para resolver sistemas de equações, se você não tem uma calculadora gráfica ou computador programa para ajudá-lo.

Video: Álgebra Matricial - #02 - Sistemas, Operações Elementares e Eliminação Gaussiana - Parte 2/2

As metas de eliminação de Gauss são para tornar o elemento de canto superior esquerdo a 1, usar operações de linha elementares para obter 0s em todas as posições por baixo que o primeiro 1, obter 1s para os principais coeficientes em cada linha diagonal do canto superior esquerdo para canto inferior direito canto, e obter 0s sob todos os coeficientes principais. Basicamente, você elimina todas as variáveis ​​na última linha com exceção de uma, todas as variáveis, exceto para dois na equação acima que um, e assim por diante e assim por diante com a equação de topo, que tem todas as variáveis. Então você pode usar para trás substituição para resolver para uma variável de cada vez, ligando os valores que você conhece nas equações de baixo para cima.

-Lo a realizar esta eliminação, eliminando a X (Ou qualquer variável ocorrer primeiro) em todas as equações exceto para o primeiro. Em seguida, eliminar a segunda variável em todas as equações excepto para os dois primeiros. Este processo continua, eliminando mais uma variável por linha, até que apenas uma variável é deixado na última linha. Em seguida, resolver para essa variável.

Você pode realizar três operações em matrizes de modo a eliminar variáveis ​​em um sistema de equações lineares:

• Você pode multiplicar qualquer linha por uma constante (diferente de zero).

  

  multiplica linha três por -2 a dar-lhe uma nova linha três.

• Você pode trocar quaisquer duas linhas.

  

  troca linhas um e dois.

• Você pode adicionar duas linhas juntos.

  

  adiciona linhas um e dois e grava-lo na linha dois.

Você pode até mesmo executar mais de uma operação. Você pode multiplicar uma linha por uma constante e, em seguida, adicioná-lo para outra linha para mudar essa linha. Por exemplo, você pode multiplicar linha um a 3 e, em seguida, acrescentar que para a linha dois para criar uma nova linha dois:

Considere o seguinte matriz aumentada:

Agora, dê uma olhada nas metas de eliminação de Gauss, a fim de completar os seguintes passos para resolver esta matriz:

1. Completar o primeiro objetivo: obter 1 no canto superior esquerdo.

   Você já tem!

2. Completar o segundo objetivo: obter 0s debaixo do 1 na primeira coluna.

   Você precisa usar a combinação de duas operações de matriz juntos aqui. Aqui está o que você deve perguntar: “O que eu preciso para adicionar a remar dois para fazer um 2 se tornar um 0?” A resposta é -2.

   Este passo pode ser conseguido através da multiplicação da primeira fileira por adição de -2 e a linha resultante para a segunda fileira. Em outras palavras, você executar a operação

   

   que produz esta nova linha:

1. (-2 -4 -6: 14) + (2 -3 -5: 9) = (0 -7 -11: 23)

Agora você tem essa matriz:

Na terceira linha, obter um 0 sob a 1.

Para fazer esta etapa, você precisa da operação

Com este cálculo, você deve agora ter a seguinte matriz:

Video: Método de Gauss Jordan, escalonamento e sistemas lineares

Obter um 1 na segunda linha, segunda coluna.

Para fazer esta etapa, você precisa multiplicar por um Constant, em outras palavras, se multiplicam linha dois pela recíproca apropriado:

Esse cálculo produz uma nova segunda linha:

Obter um 0 sob a 1 que você criou na linha dois.

Voltar para o bom funcionamento de combinação de idade para a terceira fila:

Aqui está mais uma versão da matriz:

Obter outro 1, desta vez na terceira fila, terceira coluna.

Multiplicar a terceira fila pela recíproca do coeficiente de obter um 1:

Você completou a diagonal principal depois de fazer as contas:

Video: Álgebra Linear - Resolução de sistema de equações por pivoteamento

Agora você tem uma matriz na forma escalonada, o que lhe dá as soluções quando você usa volta de substituição (a última linha implica que 0X + 0y + 1z = 4, ou z = -4). No entanto, se você quiser saber como obter esta matriz na forma escalonada reduzida para encontrar as soluções, siga estes passos:

1. Obter um 0 na linha dois, coluna três.

   Multiplicando linha três pela constante de -11 / 7 e, em seguida, adicionando linhas dois e três

   

   dá-lhe a seguinte matriz:

   

2. Obter um 0 na linha um, coluna três.

   A operação

   

   Video: Álgebra Matricial - #02 - Sistemas, Operações Elementares e Eliminação Gaussiana - Parte 1/2

   dá-lhe a seguinte matriz:

   

3. Obter um 0 na linha um, coluna dois.

   Finalmente, a operação

   

   dá-lhe essa matriz:

   

Esta matriz, em forma escalonada reduzida, é, na verdade, a solução para o sistema: X = -1, y = 3, e z = -4.