A resolução de equações diferenciais utilizando um factor de integração

Um método inteligente para resolver equações diferenciais (DES) é na forma de uma equação de primeira ordem linear. Este método envolve multiplicando toda a equação por um integrando fator.

Uma equação de primeira ordem linear leva a seguinte forma:

Para utilizar este método, siga estes passos:

1. Calcular o fator de integração.

2. Multiplicar a DE por este factor de integração.

3. Reafirmar o lado esquerdo da equação como um único derivado.

4. Integrar ambos os lados da equação e resolva para y.

Para ajudar você a entender como multiplicar por um fator integrando obras, a seguinte equação é configurado para resolver praticamente em si - isto é, se você sabe o que fazer:

Note-se que este é um primeiro grau linear DE, com

e b(X) = 0. Você agora ajustar esta equação multiplicando cada termo por X² (Você vê porque em breve):

Em seguida, você usar álgebra fazer um pouco de simplificação e reorganização:

Aqui é onde você parecem ficar extremamente sortudo: Os dois termos no lado esquerdo da equação só acontecerá a ser o resultado da aplicação da regra do produto para a expressão y · X²:

Observe que o lado direito desta equação é exatamente o mesmo como o lado esquerdo da equação anterior. Então você pode fazer a seguinte substituição:

Agora, para desfazer o derivado do lado esquerdo, você integrar ambos os lados, e então você resolver para y:

Para verificar esta solução, você conecta este valor de y de volta para a equação original:

O exemplo anterior funciona porque você encontrou uma maneira de multiplicar a equação inteira por um fator que fez o lado esquerdo da equação parece com um derivado resultante da regra do produto. Embora este parecia sorte, se você sabe o que multiplicar por, cada de primeira ordem linear DE pode ser transformado dessa forma. Recorde-se que a forma de uma de primeira ordem linear DE é como se segue:

O truque consiste em multiplicar a DE por um fator de integração baseado em uma(X). Aqui está o fator de integração:

Por exemplo, no problema anterior, você sabe que

Então aqui está como encontrar o fator de integração:

Lembre-se que 2 ln X = ln X², assim:

Video: Grings - Equações Diferenciais Exatas - Parte 1

Como você pode ver, o fator de integração X² é o valor exato que você multiplicado por resolver o problema. Para ver como esse processo funciona agora que você sabe o truque, aqui está outro DE resolver:

Nesse caso, uma(X) = 3, então calcular o factor de integração como se segue:

Agora multiplique cada termo na equação por este fator:

Se quiser, use álgebra para simplificar o lado direito e reorganizar o lado esquerdo:

Agora você pode ver como o lado esquerdo desta equação parece com o resultado da regra do produto aplicado para avaliar o seguinte derivado:

Porque o lado direito desta equação é o mesmo que o lado esquerdo da equação anterior, você pode fazer a seguinte substituição:

Observe que você mudar o lado esquerdo da equação usando a regra do produto ao contrário. Ou seja, você está expressando todo o lado esquerdo como um único derivado. Agora você pode integrar ambos os lados para desfazer este derivado:

Agora resolva para y e simplificar:

Video: Grings - Equações Diferenciais não exatas e o fator integrante

Para verificar esta resposta, substitua esse valor de y de volta para o DE original:

Como que por magia, esta resposta verifica fora, então a solução é válida.