Como fator expressões trigonométricas com graus mais elevados do que 2

Video: Equações trigonométricas 2

Embora factoring quadráticas é uma brisa, factoring equações trigonométricas com graus mais elevados pode ficar um pouco desagradável se você don&rsquo-t ter uma situação agradável, como apenas dois termos ou uma equação quadrática-like. Abaixo, você vê esses dois problemas: 2sin³ X = sin X e 2cos⁴ X - 9cos² X + 4 = 0.

A primeira equação tem apenas dois termos, para que possa incluí-lo por encontrar um maior fator comum. Resolva 2sin³ X = sin X para todos os possíveis ângulos em graus.

1. Mova o termo à direita para a esquerda, subtraindo-o de cada lado.

   2sin³ X - pecado X = 0

2. Fatorar pecado X.

   pecado X (2sin² X - 1 = 0)

3. Definir cada fator igual a 0.

   pecado X = 0 ou 2sin² X - 1 = 0

4. Resolver as duas equações para os valores de X que satisfazê-los.

   Se o pecado X = 0, então X = sin^-1(0) = 0 °, 180 °,. . . ou 0 ° + 180 °n.

   Se 2sin² X - 1 = 0, 2sin² X = 1, pecado² X = 1/2, em seguida, você acaba com uma equação quadrática.

5. Tome a raiz quadrada de ambos os lados da equação quadrática e resolver para X.

   Multiplique ambas as partes da fração pelo denominador para obter o radical fora do denominador.

   

   Agora, considerando ambas as soluções:

   

Esta equação trig quarto grau tem uma enorme quantidade de respostas:

X = 180 °n

X = 45 ° + 360 °n

X = 135 ° + 360 °n

X = 225 ° + 360 °n

X = 315 ° + 360 °n

Você pode combinar estes últimos quatro equações para X, aqueles que começam com múltiplos de 45 graus, para ler X = 45 ° + 90 °n. Esta equação gera todos os mesmos ângulos como os últimos quatro declarações combinadas. Como você sabe que você pode simplificar dessa maneira? Uma vez que os ângulos de 45, 135, 225, e 315 graus estão todos os 90 graus de distância em valor. Ao começar com o 45 e adicionando 90 mais e mais, você recebe todos os ângulos listados, bem como o número infinito de seus múltiplos.

O próximo exemplo é também uma equação quarto graus, mas este é um quadrática semelhante, o que significa que os factores como um trinómio quadrática em dois factores binomial. Este problema tem a possibilidade de ter um grande número de soluções - ou nenhum. Resolva 2cos⁴ X - 9cos² X + 4 = 0 para as soluções que estão entre 0 e 2&PI-.

1. O factor trinómio como o produto de duas binomios.

   (2cos² X - 1) (cos² X - 4) = 0

2. Definir cada fator igual a 0.

   2cos² X - 1 = 0 ou cos² X - 4 = 0

3. Resolva para a função em cada equação, obtendo os termos com cosseno neles sozinho em um lado da equação.

   

4. Tome a raiz quadrada de cada lado de cada equação.

   

5. Resolver para os valores de X que satisfazem as equações.

   

   Se cos X = ± 2, então você tem um problema - que a equação doesn&rsquo-t de computação! A função co-seno resultados só em valores entre -1 e 1. Este factor DOESN&rsquo-t dar qualquer novas soluções para o problema original.