Como encontrar raízes imaginárias usando o teorema fundamental da álgebra
O teorema fundamental da álgebra pode ajudar a encontrar raízes imaginárias. raízes imaginárias aparecem em uma equação quadrática quando o discriminante da equação quadrática - a parte sob o sinal de raiz quadrada (b2 - 4CA) - é negativo. Se este valor for negativo, você não pode realmente tirar a raiz quadrada, e as respostas não são reais. Em outras palavras, não há nenhuma solução-real, portanto, o gráfico não vai atravessar a X-eixo.
Usando a fórmula quadrática sempre dá-lhe duas soluções, porque o sinal de mais / menos significa que você está tanto somar e subtrair e obter duas respostas completamente diferentes. Quando o número sob o sinal da raiz quadrada na fórmula quadrática é negativa, as respostas são chamados conjugados complexos. Um é r + si e o outro é r - si. Estes números têm tanto real (o r) E imaginária (a si) partes.
O sistema de numeração complexo é composto por todos os números Si + r Onde r e s são números reais. Observe que quando s = 0, você simplesmente tem os números reais. Portanto, os números reais são um subconjunto do sistema de número complexo. O teorema fundamental da álgebra diz que cada função polinomial tem pelo menos uma raiz no sistema de número complexo.
O maior grau de um polinômio lhe dá o maior número possível de distintas complexo raízes para o polinômio. Entre este fato e regra dos sinais de Descartes, você pode ter uma idéia de quantas raízes imaginário um polinômio tem.
Veja como regra dos sinais de Descartes pode dar-lhe o número de possíveis raízes reais, positivas e negativas:
raízes reais positivos. Para obter o número de raízes reais positivos, olhe para o polinômio, escrito em ordem decrescente, e contar quantas vezes o sinal muda de termo a termo. Este valor representa o número máximo de raízes positivas no polinomial. Por exemplo, no polinomial f(X) = 2X4 - 9X3 - 21X2 + 88X + 48, você vê duas mudanças no sinal (não se esqueça de incluir o sinal do primeiro termo!) - a partir do primeiro mandato (+2x4) Para o segundo (-9x3) E a partir do terceiro termo (-21x2) Para o quarto termo (88X). Isso significa que esta equação pode ter até duas soluções positivas.
regra dos sinais de Descartes diz que o número de raízes positivas é igual a mudanças no sinal de f(X), Ou seja menos do que isso por um número par (assim você continuar subtraindo 2 até obter 1 ou 0). Portanto, a anterior f(X) Pode ter 2 ou 0 raízes positivos.
raízes reais negativas. Para obter o número de raízes reais negativas, encontrar f(-X) E contar novamente. Porque os números negativos levantados até mesmo poderes são números positivos e negativos elevadas a potências ímpares são negativas, esta mudança afeta apenas termos com poderes estranhos. Este passo é o mesmo que mudar cada termo com um grau ímpar ao seu signo oposto e contando as mudanças de sinal de novo, o que lhe dá o número máximo de raízes negativas. A equação exemplo se torna f(-X) = 2X4 + 9X3 - 21X2 - 88X + 48, o qual muda de sinais duas vezes. Não pode haver, no máximo, duas raízes negativas. No entanto, semelhante à regra de raízes positivas, o número de raízes negativas é igual às mudanças no sinal de f(-X), Ou deve ser menos do que isso por um número par. Portanto, este exemplo pode ter 2 ou 0 raízes negativos.
Emparelhar-se cada número possível de raízes reais positivos com cada número possível de roots- real negativo o número restante de raízes para cada situação representa o número de raízes imaginárias.
Por exemplo, o polinomial f(X) = 2X4 - 9X3 - 21X2 + 88X + 48 tem um grau de 4, com dois ou zero de raízes reais positivos, e duas ou nulos raízes reais negativas. Com esta informação, você pode emparelhar-se as possíveis situações:
Duas positivas e duas raízes reais negativas, com zero raízes imaginárias
Dois positiva e zero raízes reais negativas, com duas raízes imaginárias
Zero positivo e duas raízes reais negativas, com duas raízes imaginárias
Zero positivo e zero raízes reais negativas, com quatro raízes imaginárias
O gráfico a seguir torna a informação mais fácil de imagem:
| raízes reais positivos | raízes reais negativas | raízes imaginárias |
|---|---|---|
| 2 | 2 | 0 |
| 2 | 0 | 2 |
| 0 | 2 | 2 |
| 0 | 0 | 4 |
Os números complexos são escritos na forma r + si e ambos têm um real e uma parte imaginária, que é por isso que cada polinômio tem pelo menos uma raiz no sistema de número complexo. números reais e imaginários são ambos incluídos no sistema de número complexo. Os números reais não têm parte imaginária, e os números imaginários puros não têm parte real. Por exemplo, se X = 7 é uma raiz do polinômio, essa raiz é considerada real e complexo, porque pode ser reescrita como X = 7 + 0Eu (A parte imaginária é 0).
O teorema fundamental da álgebra dá o número total de raízes complexas (por exemplo, existem sete) - regra dos sinais de Descartes diz-lhe quantos possível existir raízes reais e quantos deles são positivos e negativos (digamos há, no máximo, duas raízes positivas, mas apenas uma raiz negativa). Agora, suponha que você encontrou todos eles: X = 1, X = 7, e X = -2. Estas raízes são reais, mas eles também são complexos porque todos eles podem ser reescrito.
As duas primeiras colunas no gráfico encontrar as raízes reais e classificá-los como positivo ou negativo. A terceira coluna é realmente encontrar, especificamente, os números não reais: números complexos com diferentes de zero partes imaginárias.