Como adivinhar e verificar raízes reais - 2 - raízes de testes por polinômios de divisão usando divisão longa

Depois de ter utilizado o teorema da raiz racional para listar todos os possíveis

raízes racionais de qualquer polinômio, o próximo passo é testar as raízes. Uma maneira é usar a divisão longa de polinômios e espero que quando você divide você tem um saldo de 0. Uma vez que você tem uma lista de possíveis raízes racionais, você, em seguida, escolher um e assumir que é uma raiz.

Por exemplo, considere a equação f(X) = 2X⁴ - 9X³ - 21X² + 88X + 48, que tem as seguintes possíveis raízes racionais:

E se X = c é uma raiz, então X - c é um fator. Então, se você escolher X = 2 como seu palpite para a raiz, X - 2 deve ser um fator. Você pode usar a divisão longa para testar se X - 2 é efectivamente um factor e, por conseguinte, X = 2 é uma raiz.

Dividindo polinômios para obter uma resposta específica não é algo que você faz todos os dias, mas a idéia de uma função ou expressão que está escrito como o quociente de dois polinômios é importante para pré-cálculo. Se você dividir um polinômio por outra e obter um saldo de 0, o divisor é um fator, que por sua vez dá uma raiz.

Em linguagem matemática, o algoritmo da divisão afirma o seguinte: Se f(X) e d(X) São tais que polinómios d(X) Não é igual a 0, e o grau de d(X) Não é maior do que o grau de f(X), Existem polinômios únicas q(X) e r(X) de tal modo que

Na planície Inglês, o dividendo é igual às vezes divisor o quociente mais o restante. Você sempre pode verificar os seus resultados por lembrar esta informação.

Lembre-se do dispositivo mnemônico Dirty Monkeys Smell Banúncio ao fazer a divisão longa para verificar as suas raízes. Certifique-se de todos os termos do polinômio são listados em ordem decrescente e que cada grau é representado. Em outras palavras, se X² está faltando, coloque em um espaço reservado de 0X² e depois fazer a divisão. (Esta etapa é apenas para tornar o processo de divisão mais fácil.)

Para dividir dois polinômios, siga estes passos:

1. Divide.

   Divida o termo líder do dividendo pelo termo líder do divisor. Escrever este quociente diretamente acima o termo que você acabou dividida em.

2. Multiply.

   Multiplicar o termo quociente a partir do Passo 1 por todo o divisor. Escrever este polinomial sob o dividendo para que os termos como são alinhados.

3. Subtract.

   Subtrair toda a linha que você acabou de escrever a partir do dividendo.

   Você pode mudar todos os sinais e adicione se isso faz você se sentir mais confortável. Dessa forma, você não vai esquecer sinais.

4. Bring o seguinte termo.

   Não exatamente o que este diz-derrubar o próximo mandato do dividendo.

5. Repita os passos 1-4 mais e mais até o polinômio restante tem um grau que é menos do que o dividendo de.

A lista a seguir explica como dividir 2X⁴ - 9X³ - 21X² + 88X + 48 por X - 2. Cada passo corresponde ao passo numeradas na ilustração desta figura.

Video: Matemática Zero - Aula 13 - Equação do Primeiro Grau - Segunda Parte

(Note que usando a regra dos sinais de Descartes, você achar que este exemplo em particular pode ter raízes positivas, por isso é eficiente para tentar um número positivo aqui. Se a regra dos sinais de Descartes tinha dito que existia há raízes positivas, você não iria testar qualquer positivos !)

1. Divide.

   O que você tem que multiplicar X no divisor por torná-lo tornar-se 2X⁴ no dividendo? O quociente, 2X³, passa acima do duasX⁴ prazo.

2. Multiply.

   Video: Aluno fazendo teste de independência de dedos (técnica) e andamento (divisão)

   Multiplique este quociente pelo divisor e escrevê-lo sob o dividendo.

3. Subtract.

   Subtrair esta linha a partir do dividendo: (2X⁴ - 9X³) - (2X⁴ - 4X³) = -5X³. Se você já fez o trabalho direito, a subtração dos primeiros termos sempre produz 0.

4. 
   
   
   

   Bring.

   Derrubar os outros termos do dividendo.

5. Divide.

   O que você tem que multiplicar X por fazê-lo -5X³? Coloque a resposta, -5X², acima a -21X².

6. Multiply.

   Multiplicar a -5X² vezes o X - 2 para obter -5X³ + 10X². Escrevê-lo sob o restante com os graus alinhados.

7. Subtract.

   agora você tem (-5X³ - 21X²) - (-5X³ + 10X²) = -31X².

8. Bring.

   a +88X toma o seu lugar.

9. Divide.

   O que multiplicar por fazer X tornar -31X²? O quociente -31X vai acima -21X².

10. Multiply.

    O valor -31X vezes (X - 2) é -31X² + 62X- escrevê-lo sob o restante.

11. Subtract.

    agora você tem (-31X² + 88X) - (-31X² + 62X), Que é 26x.

12. Bring.

    A +48 vem para baixo.

13. Divide.

    O termo 26X dividido por X é 26. Essa resposta vai em cima.

14. Multiply.

    A constante de 26 multiplicado por (X - 2) é 26X - 52.

15. Subtract.

    Você subtrair (26X + 48) - (26X - 52) para obter 100.

16. Stopo.

    O restante 100 tem um grau que é menor que o divisor de X - 2.

Uau . . . agora você sabe por que eles chamam longo divisão. Você passou por tudo isso para descobrir que X - 2 não é um factor do polinómio, o que significa que X = 2 não é uma raiz.

Se você dividir por c e o restante é 0, então a expressão linear (X - c) É um factor e que c é uma raiz. Um remanescente diferente de 0 implica que (X - c) Não é um factor e que c não é uma raiz.