Desenterrar raízes polinomiais com factoring

Quando resolver raízes (X

-intercepta de um polinômio), você geralmente precisa factor a regra função e defina-igual a 0. A fatoração pode ser simples e óbvia ou complicado e obscuro. Você sempre esperança para o simples e óbvia, mudança para um desafio e factível, e recorrer aos “grandes armas” quando os fatores são mais obscura.

Antes de ir para esses comprimentos, porém, você precisa esgotar outros métodos. Os outros métodos de factoring incluir

Dividindo um maior fator comum (GCF)

Factoring um binômio quadrado perfeito

Factoring pelo agrupamento

Factoring trinômio quadrática-like

Video: MATEMÁTICA - AULA 12 - PARTE 1 - TEOREMA DAS RAIZES COMPLEXAS NÃO REAIS

Exemplos de perguntas

1. Encontrar as raízes (soluções) do polinômio X⁷ - 82X⁵ + 81X³ = 0.

   X= 0, 0, 0, 9, -9, 1, -1. Esta equação tecnicamente tem sete soluções, mas a 0 é uma raiz múltipla, assim você acaba com apenas cinco números diferentes. Para encontrar essas soluções, você primeiro fator X³ fora de cada termo para obter X³(X⁴ - 82X² + 81) =

   Os dois binómios são ambos a diferença de quadrados perfeitos, para que possa levar-los para a diferença e soma das raízes dos termos. você começa X³(X - 9) (X + 9) (X - 1) (X + 1) = 0. Ajuste cada um dos fatores iguais a 0, você encontrar as raízes.

2. Encontrar as raízes (soluções) do polinômio X³ - 16X² + 100X - 1.600 = 0.

   X = 16. O polinômio não tem um fator comum nos quatro termos, mas você pode agrupar os termos para os pares de fatores comuns. você começa X²(X - 16) + 100 (X - 16) = 0, que factores em (X - 16) (X² + 100) = 0. O segundo binomial é a soma dos quadrados, a qual não é considerada.

   Definir esses dois fatores iguais a 0, você obtém X = 16 do primeiro fator, mas o segundo fator não produz quaisquer respostas reais. Mesmo que você começou com um terceiro grau polinomial, que pode render até três soluções, este polinomial tem apenas uma raiz real. A solução é apenas X = 16.

questões práticas

1. Encontrar as raízes (soluções) do polinômio 3X⁴ - 12X³ - 27X² + 108X = 0.

2. 
   
   
   

   Encontrar as raízes (soluções) do polinômio X⁵ - 16X³ + X² - 16 = 0.

3. Encontrar as raízes (soluções) do polinômio X⁶ + 9X³ + 8 = 0.

4. Encontrar as raízes (soluções) do polinômio 36X⁵ - 13X³ + X = 0.

Video: Teorema das raízes racionais

Seguem-se respostas para as questões práticas:

1. A resposta é X= 0, 3, -3, 4.

   Primeiro fator 3X fora de cada termo para obter 3X(X³ - 4X² - 9X + 36) = 0. Em seguida, pode levar os termos nos parênteses, agrupando: 3X[X²(X - 4) -9 (X - 4)] = 3X[(X - 4) (X² - 9)] = 3X[(X - 4) (X - 3) (X + 3)] = 0. Conjunto de cada factor igual a 0 a resolver para as raízes.

2. A resposta é X= 4, -4, -1.

   Os factores polinomiais por agrupamento: X³(X² - 16) + 1 (X² - 16) = (X² - 16) (X³ + 1) = (X - 4) (X + 4) (X + 1) (X² - X + 1) = 0. Os três primeiros fatores dar-lhe as raízes reais. O último fator é uma quadrática que não tem solução real quando você defini-lo igual a 0.

   Você realmente não tem de levar X³ + 1 em problema 6 para encontrar a raiz. Se você acabou de definir X³ + 1 igual a 0, você obtém X³ = -1, e tomando a raiz cúbica de ambos os lados dá-lhe a solução de -1. O formulário consignado simplesmente mostra como esse problema poderia ter tido cinco raízes, mas nem todos são números reais neste caso.

3. A resposta é X= -2, -1.

   O polinômio é quadrática-like. É factores em (X³ + 8) (X³ + 1) = 0. Definir cada fator igual a 0, você tem as duas raízes.

4. A resposta é

   

   Primeiro, o fator X fora de cada termo para obter X(36X⁴ - 13X² + 1) = 0. Os fatores trinomiais quadrática semelhantes, dando-lhe X(9X² - 1) (4X² - 1) = 0. Cada binomial é a diferença de quadrados, de modo que ambos fator binomios. Para a fatoração final, você acaba com X(3X - 1) (3X + 1) (2X - 1) (2X + 1) = 0. Definir cada fator igual a 0 dá-lhe as cinco soluções diferentes.

   Video: Polinomios estudo de raizes