Como encontrar as verdadeiras raízes de um polinômio usando a regra dos sinais de descartes

Se você sabe quantas raízes total de um polinômio tem, você pode usar um teorema muito legal chamado regra dos sinais de Descartes

para contar quantos raízes são números reais (positivos e negativo) e quantas são imaginárias. Você vê, o mesmo homem que praticamente inventou gráficos, Descartes, também veio com uma maneira de descobrir quantas vezes um polinômio pode possível atravessar a X-eixo - em outras palavras, quantas raízes reais pode ter. Tudo que você tem que ser capaz de fazer é contar!

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Os termos soluções / zeros / raízes são sinónimo porque todos eles representam onde o gráfico de um polinômio intercepta a X-eixo. As raízes que são encontrados quando o gráfico encontra-se com o X-eixo são chamados real roots- você pode vê-los e tratá-los como números reais no mundo real. Também, porque eles cruzam a X-eixo, algumas raízes podem ser raízes negativas (O que significa que eles se intersectam a negativa X-eixo), e alguns podem ser raízes positivas (Que intersectam o positiva X-eixo).

Veja como regra dos sinais de Descartes pode dar-lhe o número de possíveis raízes reais, positivas e negativas:

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  raízes reais positivos. Para obter o número de raízes reais positivos, olhe para o polinômio, escrito em ordem decrescente, e contar quantas vezes o sinal muda de termo a termo. Este valor representa o número máximo de raízes positivas no polinomial. Por exemplo, no polinomial f(X) = 2X⁴ - 9X³ - 21X² + 88X + 48, você vê duas mudanças no sinal (não se esqueça de incluir o sinal de adição do primeiro termo!) - a partir do primeiro mandato (+ 2x⁴) Para o segundo (-9x³) E a partir do terceiro termo (-21x²) Para o quarto termo (88X). Isso significa que esta equação pode ter até duas soluções positivas.

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  regra dos sinais de Descartes diz que o número de raízes positivas é igual a mudanças no sinal de f(X), Ou seja menos do que isso por um número par (assim você continuar subtraindo 2 até obter 1 ou 0). Portanto, a anterior f(X) Pode ter 2 ou 0 raízes positivos.

• raízes reais negativas. Para obter o número de raízes reais negativas, encontrar f(-X) E contar novamente. Porque os números negativos levantados até mesmo poderes são números positivos e negativos elevadas a potências ímpares são negativas, esta mudança afeta apenas termos com poderes estranhos. Este passo é o mesmo que mudar cada termo com um grau ímpar ao seu signo oposto e contando as mudanças de sinal de novo, o que lhe dá o número máximo de raízes negativas. A equação exemplo se torna f(-X) = 2X⁴ + 9X³ - 21X² - 88X + 48, o qual muda de sinais duas vezes. Não pode haver, no máximo, duas raízes negativas. No entanto, semelhante à regra de raízes positivas, o número de raízes negativas é igual às mudanças no sinal de f(-X), Ou deve ser menos do que isso por um número par. Portanto, este exemplo pode ter 2 ou 0 raízes negativos.