Calcular a distância até o horizonte usando diferenciação - questão prática
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Alguma vez você já olhou para um horizonte distante e se perguntou o quão longe isso foi? Não quer saber mais! Agora, você pode usar diferenciação para resolver este problema antigo.
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Antes de começar, no entanto, ter um momento para refrescar sua memória sobre tangentes e normais:
No seu ponto de tangência, uma linha tangente tem a mesma inclinação que a curva é tangente. No cálculo, sempre que um problema envolve inclinação, você deve pensar imediatamente derivado. A derivada é a chave para todos os problemas de linha tangente.
No seu ponto de intersecção com uma curva, uma normal linha é perpendicular para a linha tangente desenhada no mesmo ponto. Quando qualquer problema envolve linhas perpendiculares, você usar a regra de que as linhas perpendiculares têm declives que são inversos opostos. Então, tudo que você faz é usar o derivado para obter a inclinação da linha tangente, e depois o inverso oposto do que lhe dá a inclinação da linha normal.
questão prática
A Terra tem um raio de 4.000 milhas. Digamos que você está em pé na praia e seus olhos são 5 pés, 3.36 polegadas acima da superfície da água. Quão longe você pode ver até o horizonte antes de a curvatura da Terra faz com que o mergulho de água abaixo do horizonte? (Consultar a figura a seguir.)
Resposta e explicação
O horizonte é de cerca de 2,83 milhas de distância.
Como você conseguiu isso? Primeiro, escreva a equação da circunferência da Terra em função da y.
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Você pode ignorar a metade negativa desse círculo porque sua linha de visão, obviamente, será tangente à metade superior da Terra.
Agora, expressar um ponto no círculo em termos de X:
Tomar o derivado do círculo.
Usando a fórmula inclinação, ajustar a inclinação da linha tangente de seus olhos para
igual ao derivado e, em seguida, para resolver X.
Seus olhos são
acima do topo da terra no ponto (0, 4000) no círculo. Converter sua altura para miles- isso é exatamente 0.001 milhas (o que uma incrível coincidência!). Assim, as coordenadas de seus olhos são (0, 4,000.001).
Muitas pessoas ficam surpresas que o horizonte é tão perto. O que você acha?