Simples fórmulas de propagação de erro para expressões simples

Mesmo que algumas fórmulas gerais erro de propagação são muito complicadas, as regras para a propagação SEs através de algumas expressões matemáticas simples são muito mais fáceis de se trabalhar. Aqui estão algumas das regras simples mais comuns.

Todas as regras que envolvem duas ou mais variáveis ​​assumem que essas variáveis ​​foram medidos independently- eles não devem ser aplicadas quando as duas variáveis ​​foram calculados a partir dos mesmos dados brutos.

Adicionar ou subtrair uma constante não altera o SE

Adicionando (ou subtrair) uma constante numérica exatamente conhecida (que não tem SE em tudo) não afeta a SE de um número. Então se X = 38 ± 2, então X + 100 = 138 ± 2. Da mesma forma, se X = 38 ± 2, então X - 15 = 23 ± 2.

Multiplicando (ou divisão) por um multiplica constante (ou divisões) SE pela mesma quantidade

Multiplicando um número por uma exactamente conhecidas multiplica constantes da SE por essa mesma constante. Esta situação surge quando converter unidades de medida. Por exemplo, para converter um comprimento de metros para centímetros, você multiplicar por exatamente 100, de modo que um comprimento de uma pista de exercício que é medido como 150 ± 1 metros também pode ser expressa como 15.000 ± 100 centímetros.

Para somas e diferenças: Adicione as praças de SEs juntos

Ao adicionar ou subtrair dois números medidos de forma independente, você quadrados cada SE, em seguida, adicione as praças, em seguida, tirar a raiz quadrada da soma, assim:

Por exemplo, se cada uma de duas medições tem uma SE de ± 1, e os números são adicionados em conjunto (ou subtraídas), a soma resultante (ou diferença) tem uma SE de

Uma regra útil lembrar que é o SE da soma ou diferença de dois números é igualmente precisos cerca de 40 por cento maior do que o SE de um dos números.

Quando dois números diferentes de precisão são misturadas (adicionadas ou subtraídas), a precisão do resultado é determinado principalmente pelo número menos preciso (o que tem a maior SE). Se um número tem uma SE de ± 1 e outro tem uma SE de ± 5, o SE da soma ou diferença destes dois números é

ou apenas ligeiramente maior do que o maior dos dois SEs individuais.

Para médias: A lei da raiz quadrada assume

A SE da média de N números igualmente precisos é igual a SE dos números individuais divididas pela raiz quadrada de N.

Por exemplo, se o analisador de laboratório pode determinar um valor de glicose no sangue com uma SE de ± 5 miligramas por decilitro (mg / dL), em seguida, se separar uma amostra de sangue em quatro amostras, executá-los através do analisador, e calcula a média de quatro resultados, a média terá uma sE de

A média de quatro números é duas vezes tão precisa como (tem uma meia-SE de) cada número individual.

Para produtos e proporções: Quadrados de SEs relativos são somados

A regra para produtos e rácios é semelhante à regra para adicionar ou subtrair dois números, exceto que você tem que trabalhar com o relativo SE em vez da própria SE. o relativa SE do X é o de SE X dividido pelo valor de x.

Portanto, um peso medido de 50 kg com uma SE de 2 kg tem um SE relativa de 2/50, o que é de 0,04 ou 4 por cento. Quando multiplicar ou dividir dois números, quadrado dos erros padrão relativo, adicione os quadrados juntos, e depois tirar a raiz quadrada da soma. Isso lhe dá a SE relativa do produto (ou ratio). As fórmulas são

Esta fórmula pode parecer complicado, mas na verdade é muito fácil de usar, se você trabalha com erros por cento (precisão relativa). Em seguida, ele funciona exatamente como o “adicionar os quadrados” regra de adição e subtração. Portanto, se um número é conhecido por ter uma relativa precisão de ± 2 por cento, e uma outra série tem uma relativa precisão de ± 3 por cento, o produto ou a proporção destes dois números tem uma precisão relativa (em percentagem) de

Note-se que multiplicar um número por um conhecido exatamente constante não muda o SE relativa. Por exemplo, dobrando um número representado por X dobraria sua SE, mas o erro relativo (SE/X) Permaneceria o mesmo, porque tanto o numerador eo denominador seria duplicada.

Para potências e raízes: Multiplique o SE relativa pelo poder

Para potências e raízes, você tem que trabalhar com relativo SEs. Quando X é elevada a qualquer poder k, SE relativa de X é multiplicado pela k- e quando se toma a k raiz de um número, a SE é dividido por k. Então, em quadratura com um número (elevando-o para o poder de 2) duplica a sua relação SE, e tomando a raiz quadrada de um número (elevando-o para o poder de ½) reduz a SE em relação ao meio. Outro caso especial importante da regra de alimentação é que o erro relativo do inverso de um número (elevando-o para o poder de -1) é o mesmo que o erro relativo do número em si.

Por exemplo, porque a área de um círculo é proporcional ao quadrado do seu diâmetro, se você sabe o diâmetro com uma precisão relativa de ± 5 por cento, você sabe a área com uma precisão relativa de ± 10 percent.For exemplo, sob certas suposições, o meia vida (t_1/2) De uma droga no organismo está relacionada com a constante de velocidade de eliminação terminal (k_e) Para a droga pela fórmula: t_1/2 = 0,693 /k_e. A análise de regressão farmacocinético pode produzir o resultado que k_e = 0,1633 ± 0,01644 (k_e tem unidades de “por hora”). Pode-se calcular que t_1/2 = 0,693 / 0,1633 = 4,244 horas.

Como precisa é este valor meia-vida? Primeiro você calcular o SE relativa do k_e valor de SE (k_e ) /k_e, que é 0,01644 / 0,1633 = 0,1007, ou cerca de 10 por cento.

Porque k_e tem uma relativa precisão de ± 10 por cento, t_1/2 também tem uma precisão relativa de ± 10 por cento, porque t_1/2 é proporcional ao recíproco k_e (Você pode ignorar a 0,693 inteiramente, porque os erros relativos não são afetados por multiplicar ou dividir por uma constante conhecida).

Se o t_1/2 valor de 4.244 horas tem uma precisão relativa de 10 por cento, em seguida, a SE de t_1/2 deve ser 0.4244 horas, e você relatar a meia-vida de 4,24 ± 0,42 horas.