Descobrindo equações cônicas (acidentalmente)

Três problemas famosos confundiu os matemáticos durante séculos: a quadratura do círculo, triseccionar o ângulo e duplicação do cubo. Estes problemas são bastante acessíveis hoje em dia com computação moderna e tecnologia. Mas os antigos só tinha uma régua e compasso para trabalhar com, assim que estes problemas foram praticamente insolúvel.

Ao tentar resolver o dobrando o problema cubo, os matemáticos descobriram equações cônicas. Esta situação é um pouco como a descoberta acidental de penicilina, onde Fleming estava pesquisando a gripe e encontrou algum molde na sua placa de Petri. Como os matemáticos de idade, Fleming não descartou sua descoberta, eo resto é história.

Mas a história começa com duplicação do cubo. Imagine um cubo 1-x-1-x-1 polegada. Seu volume é de 1 x 1 x 1 = 1 polegada cúbica. Se você dobrar o comprimento dos lados, você tem 2 x 2 x 2 = 8 polegadas cúbicas, mas isso não está dobrando o volume do cubo original, que é o que os antigos queriam. Eles queriam alguma uma X uma X uma = 2- queriam o volume a ser dobrado.

Este problema parece ser um simples! Você só precisa

Mas essa raiz cúbica não poderia ser construída com régua e compasso. Era um problema insolúvel, mas trabalhando nisso resultou na descoberta acidental de cônicas! Como isso aconteceu?

Hipócrates de Chios é creditado com a construção de algumas proporções médias para tentar resolver o problema duplicação. A partir das proporções médias, as equações de cónicas foram derivados. UMA proporção média, é claro, é uma proporção em que os meios são iguais.

Por exemplo,

é a proporção em que os meios são iguais. O que Hipócrates fez foi escrever as proporções

e deixar que as proporções de cada fracção a ser igual r, a relação que queria resolver o problema duplicação. Então, se cada relação é igual a r, então

Video: 34. Equação Geral das Cônicas. | Geometria Analítica

Mas olhe para as proporções de novo:

Se você pegar as duas primeiras relações,

Video: 44. Equação Geral das Quádricas. | Geometria Analítica

e atravessar multiplicar, você tem X² = 2ay, a equação de uma parábola. Tomar as duas últimas proporções,

e atravessar multiplicar. Você tem machado = y² outra parábola. O primeiro eo último rácios

tem um produto cruzado de doisuma² = xy, hipérbole. Uma consequência não intencional que tem a matemática impactadas durante séculos!