Encontrar pontos concavidade e inflexão usando segundas derivadas - questões práticas

Um propósito da segunda derivada é analisar concavidade e pontos de inflexão num gráfico. A figura seguinte mostra um gráfico com a concavidade e dois pontos de inflexão.

Usando esta figura, aqui estão alguns pontos para se lembrar sobre pontos concavidade e de inflexão:

A secção da curva entre A e B é baixo côncavo - como uma colher de cabeça para baixo ou uma frown- as secções sobre as foras de A e B são côncavas-se - como um direito; voltado para cima colher ou um sorriso- e A e B são pontos de inflexão.

Video: Me Salva! DER20 - Derivadas: como esboçar gráficos passo a passo

questões práticas

1. Encontre os intervalos de concavidade e pontos de inflexão de f(X) = -2X³ + 6X² - 10X + 5.

2. Encontre os intervalos de concavidade e pontos de inflexão de g(X) = X⁴ - 12X².

Video: GRINGS - Ponto de Inflexão e Concavidade da função - Aula 4

Respostas e explicações

1. Para f(X) = -2X³ + 6X² - 10X + 5, f é côncavo para cima do infinito negativo para o ponto de inflexão em (1, -1), então concavidade para baixo a partir daí até ao infinito.

   Video: Concavidade, derivada segunda e pontos de inflexão

   

   Para resolver este problema, começar por encontrar a segunda derivada.

   

   Agora defini-lo igual a 0 e resolver.

   

   Verificar se há X valores, onde a segunda derivada é indefinido. (Não há nenhum.)

   Agora testar suas duas regiões, para a esquerda e para a direita do X = 1.

   

   Faça um gráfico sinal, como mostrado aqui.

   

   Uma vez que a concavidade comuta em X = 1 e porque

   

   é igual a zero lá, há um ponto de inflexão na X = 1.

   Encontre a altura do ponto de inflexão.

   

   portanto f é côncavo para cima do infinito negativo para o ponto de inflexão em (1, -1), e, em seguida, côncavo para baixo a partir daí até ao infinito. Como sempre, você deve verificar o seu resultado na sua calculadora gráfica. dica: Para obter uma boa sensação para o olhar desta função, você precisa de uma janela gráfica bastante estranho - tentar algo como xmin = -2, xmax = 4, ymin = -20, ymax = 20.

2. Para g(X) = X⁴ - 12X², g é côncavo para cima do infinito negativo para o ponto de inflexão em

   
   
   
   

   

   em seguida, côncava para baixo a um ponto de inflexão na

   

   em seguida, côncava para cima novamente para o infinito.

   

   Para resolver este problema, começar por encontrar a segunda derivada.

   

   Agora configurá-lo para 0 e resolver.

   

   É a segunda derivada indefinido em qualquer lugar? Não.

   Agora é hora de testar as três regiões.

   

   Faça um gráfico sinal, como mostrado aqui.

   

   Uma vez que a concavidade comutados sinais nos dois zeros de

   

   existem pontos de inflexão para estes dois X valores.

   Encontrar as alturas dos pontos de inflexão.

   

   g é côncavo para cima do infinito negativo para o ponto de inflexão em

   

   côncavo para baixo de lá para outro ponto de inflexão na

   

   e depois côncava para cima novamente de lá para o infinito.

   Video: (p159 Ex5) y=x³-3x²+3x-1 Pontos críticos, de inflexão, região de crescimento, concavidade etc