Como expandir um binômio que contém números complexos

O tipo mais complicado de expansão binomial envolve o número complexo Eu,

porque você não está apenas lidando com o teorema binomial mas lidar com números imaginários bem. Ao levantar números complexos a uma potência, note que Eu¹ = I, Eu² = -1, Eu³ = -Eu, e Eu⁴ = 1. Se você tiver poderes superiores, este padrão se repete: Eu⁵ = Eu, Eu⁶ = -1, Eu⁷ = -Eu, e assim por diante. Porque o número de potências imaginário Eu pode ser simplificada, a sua resposta final para a expansão não deve incluir poderes de Eu. Em vez disso, use a informação dada aqui para simplificar os poderes de Eu e, em seguida, combinar seus termos como.

Por exemplo, para expandir (1 + 2Eu)⁸, Siga esses passos:

1. Faça a expansão binomial usando o teorema binomial, substituindo no para as variáveis ​​se necessário.

   Video: PRODUTOS NOTÁVEIS - O quadrado da soma de dois termos - Aula 01

   Caso você tenha esquecido, aqui é o teorema binomial:

   

   Utilizando o teorema, (1 + 2Eu)⁸ se expande para

   

2. Encontrar as coeficiente binomial.

   Para fazer isso, você usar a fórmula para a expansão binomial, que é escrito da seguinte forma:

   

   Você pode recordar o termo fatorial de suas aulas de matemática anteriores. Se não, aqui é um lembrete: n!, onde se lê “n factorial,” é definido como

   

   
   
   
   

   Usando a fórmula combinação dá-lhe o seguinte:

   

   Video: Matemática - Binômio de Newton - Números Binomiais

3. Substitua tudo

   

4. com os coeficientes do Passo 2.

   1 (1)⁸(2Eu)⁰ + 8 (1)⁷(2Eu)¹ + 28 (1)⁶(2Eu)² + 56 (1)⁵(2Eu)³ + 70 (1)⁴(2Eu)⁴ + 56 (1)³(2Eu)⁵ + 28 (1)²(2Eu)⁶ + 8 (1)¹(2Eu)⁷ + 1 (1)⁰(2Eu)⁸

5. Levante as monomios dos poderes especificados para cada termo.

   1 (1) (1) + 8 (1) (2i) + 28 (1) (4I2) + 56 (1) (8i3) + 70 (1) (16i4) + 56 (1) (32i5) + 28 ( 1) (64i6) + 8 (1) (128i7) + 1 (1) (256i8)

6. simplificar qualquer Eu‘S que você pode.

   Video: Matemática - Aula 29 - Binômio de Newton - Parte 2

   1 (1) (1) + 8 (1) (2i) + 28 (1) (4) (- 1) + 56 (1) (8) (- i) + 70 (1) (16) (1) + 56 (1) (32) (i) + 28 (1) (64) (- 1) + 8 (1) (128) (- i) + 1 (1) (256) (1)

7. Combine como termos e simplificar.

   Video: Matemática - Aula 28 - Fatorial - Parte 1 - Final

   1 + 16i - 112 - 448i + 1120 + 1,792i - 1792 - 256 + 1,024i

   = -527 + 336i