Como resolver sistemas lineares utilizando a substituição ou eliminação

Ao resolver sistemas lineares, você tem dois métodos - substituição ou eliminação - à sua disposição, e que você escolher depende do problema. Se o coeficiente de qualquer variável é 1, o que significa que você pode facilmente resolver para ele em termos de outra variável, em seguida, a substituição é uma boa aposta. Se todos os coeficientes são algo diferente de 1, então você pode usar a eliminação, mas somente se as equações podem ser adicionados em conjunto para fazer uma das variáveis ​​desaparecer.

Como resolver sistemas lineares com o método de substituição

No método de substituição, você usa uma equação para resolver para uma variável e, em seguida, substituir essa expressão para a outra equação para calcular a outra variável. Para começar a maneira mais fácil, olhar para uma variável com um coeficiente de 1 e resolver para ele. Você apenas tem que adicionar ou subtrair termos, a fim de mover tudo para o outro lado do sinal de igual, assim como você faria normalmente para resolver variáveis. Dessa forma, você não terá que dividir pelo coeficiente quando você está resolvendo, o que significa que você não terá quaisquer frações (a menos que já existem frações para começar).

Por exemplo, suponha que você está administrando um teatro e que você precisa saber quantos adultos e crianças estão presentes em um show. O auditório está esgotado e contém uma mistura de adultos e crianças. Os bilhetes custam US $ 23,00 por adulto e US $ 15,00 por criança. Se o auditório tem 250 lugares e a receita total do bilhete para o evento é de US $ 4,846.00, quantos adultos e crianças estão presentes?

Para resolver o problema com o método de substituição, siga estes passos:

1. Expresse o problema da palavra como um sistema de equações.

   Você quer resolver por quantos bilhetes de adulto (uma) E os bilhetes criança (c) você vendeu. Se o auditório tem 250 lugares e foi vendido para fora, a soma dos bilhetes para adultos e bilhetes criança deve ser 250.

   Os preços dos bilhetes também levá-lo para a receita (ou dinheiro feito) a partir do evento. Os tempos adulto preço do bilhete o número de adultos presentes permite que você saiba quanto dinheiro você fez dos adultos. Você pode fazer o mesmo cálculo com os bilhetes criança. A soma desses dois cálculos devem ser a receita total do bilhete para o evento.

   Veja como você escrever este sistema de equações:

   

2. Resolva para uma das variáveis.

   Escolher a variável com um coeficiente de 1 se você pode, porque a solução para esta variável será fácil. Para este exemplo, você pode escolher para resolver uma na primeira equação. Para isso, subtraia c a partir de ambos os lados: uma = 250 - c.

3. Substitua a variável resolvido na outra equação.

   Neste exemplo, você resolve para uma na primeira equação. Você toma este valor (250 - c) E substituí-lo na outra equação para uma. (Certifique-se de que você não substituir na equação que utilizou no Passo 1- Caso contrário, você estará andando em círculos.)

   A segunda equação diz agora 23 (250 - c) + 15c = 4,846.

4. Resolva para a variável desconhecida.

   Você distribuir o número 23:

   5750 - 23c + 15c = 4846

   E então você simplificar:

   5750 - 8c = 4846, ou -8c = -904

   assim c = 113. Um total de 113 crianças participaram do evento.

5. Substitua o valor da variável desconhecida em uma das equações originais para resolver para a outra variável desconhecida.

   Quando você conecta 113 para a primeira equação para c, você começa uma + 113 = 250. Resolver esta equação, você começa uma = 137. Você vendeu um total de 137 bilhetes de adulto.

6. Verifique a sua solução.

   Quando você conecta uma e c nas equações originais, você deve obter duas afirmações verdadeiras. Faz 137 + 113 = 250? Sim. Faz 23 (137) + 15 (113) = 4.846? De fato.

Como resolver sistemas lineares com o método de eliminação

Se a solução de um sistema de duas equações com o método de substituição for difícil ou o sistema envolve frações, o método de eliminação é a sua melhor opção. No método de eliminação, você faz uma das variáveis ​​cancelar-se para fora, adicionando as duas equações.

Às vezes você tem que multiplicar uma ou ambas as equações por constantes, a fim de adicionar o equations- esta situação ocorre quando você não pode eliminar uma das variáveis ​​apenas adicionando as duas equações juntos. (Recordar que, para uma variável a ser eliminado, os coeficientes de uma variável deve ser opostos.)

Por exemplo, as etapas a seguir mostram como resolver este sistema usando o processo de eliminação:

1. Reescrever as equações, se necessário, para fazer como variáveis ​​alinhar por baixo uns dos outros.

   A ordem das variáveis ​​não Matter- apenas certifique-se que, como termos alinhar com termos como de cima para baixo. As equações neste sistema tem as variáveis X e y alinhados já:

   

2. Multiplique as equações por constantes para fazer um conjunto de coeficientes variáveis ​​jogo.

   Primeiro, deixe a equação topo sozinho e multiplicar a equação de fundo por 30 (para eliminar todos os denominadores). (Certifique-se de distribuir este número para cada termo - mesmo do outro lado do sinal de igual). Fazendo este passo dá-lhe as seguintes equações:

   

3. Adicione as duas equações.

   Video: [Cálculo Numérico]: Método de Eliminação de Gauss para sistemas lineares resolvido "manualmente"

   Você tem agora -24y = -40.

4. Resolva para a variável desconhecida que permanece.

   

5. Substituir o valor da variável encontrado em qualquer equação.

   Este exemplo usa a primeira equação: 20X + 24 (5/3) = 10.

6. Resolva para a variável desconhecida final.

   Você acaba com X = -3/2.

7. Verifique suas soluções.

   Sempre verifique a sua resposta, ligando as soluções de volta para o sistema original. Estes confira!

   20 (-3/2) + 24 (5/3) = -30 + 40 = 10

   Video: Exercício de sistemas com eliminação

   Funciona! Agora verifique a outra equação:

   

   Porque ambos os valores são soluções para ambas as equações, a solução para o sistema está correcta.