Integrar uma função utilizando o caso tangente
Video: Me Salva! INT31 - Integrais Trigonométricas: Produto de tangentes e secantes
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Quando a função que você está integrando inclui um termo da forma (uma2 + X2)n, desenhar o seu triângulo substituição trigonometria para o caso tangente. Por exemplo, suponha que pretende avaliar a seguinte integral:
Desenhe o triângulo substituição trig para o caso tangente.
A figura mostra como preencher o triângulo para o caso tangente. Observe que o radical do que está dentro dos parênteses vai para a hipotenusa do triângulo. Em seguida, para preencher os outros dois lados do triângulo, utilizar as raízes quadradas dos dois termos no interior do radical - isto é, dois e trêsX. Coloque o termo constante 2 no lado adjacente e a variável termo trêsX no lado oposto.
Com o caso tangente, certifique-se de não misturar o seu posicionamento da variável e constante.
Identificar as peças separadas do integral (incluindo dx) Que você precisa de expressar em termos de theta.
Neste caso, a função contém duas partes separadas que contêm X:
Expressar essas peças em termos de funções trigonométricas de theta.
No caso tangente, todos funções trigonométricas devem ser inicialmente expressa como tangentes e secantes.
Para representar a parte racional como uma função trigonométrica da teta, construir uma fracção com o radical
como o numerador e a constante de 2 como o denominador. Em seguida, defina essa fração igual à função trig apropriado:
Uma vez que esta fracção é a hipotenusa do triângulo sobre o lado adjacente
é igual a
Agora use álgebra e trigonometria identidades de ajustar esta equação em forma:
Video: 29. Integração por Frações Parciais (Caso I e II). | Cálculo I
Em seguida, expressar dx como uma função trigonométrica da teta. Para fazê-lo, construir uma outra fração com a variável 3X no numerador e a constante de 2 no denominador:
Desta vez, a fracção é o lado oposto do triângulo sobre o lado adjacente
por isso é igual a
Agora resolva para X e, em seguida, diferenciar:
Expressar a integral em termos de theta e avaliá-lo:
Agora, alguns de cancelamento e reorganização transforma este de aparência desagradável integrante em algo administrável:
Neste ponto, você pode avaliar esta integral:
Então aqui está a substituição:
E aqui é a antiderivada:
Alterar os dois termos teta de volta para X termos:
Você precisa encontrar uma maneira de expressar teta em termos de X. Aqui é a maneira mais simples:
Então aqui está uma substituição que lhe dá uma resposta:
Esta resposta é válida, mas a maioria dos professores não vai ser louco sobre esse segundo mandato feio, com o seno de um arco tangente. Para simplificar, aplicar a fórmula seno duplo ângulo de
Agora use seu triângulo substituição trig para substituir valores para
em termos de x:
Finalmente, use este resultado para expressar a resposta em termos de X:
