Integrar uma função usando o caso de seno
Quando a função que você está integrando inclui um termo da forma (uma
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Este é um caso senoidal, porque uma constante menos um múltiplo de X2 está a ser elevado a uma potência
Aqui está como você usa substituição trig para lidar com o trabalho:
Video: Grings - Integral envolvendo Funções Seno e Cosseno - Aula 26
Desenhe o triângulo substituição trig para o caso correto.
Esta figura mostra como preencher o triângulo para o caso senoidal. Observe que o radical continua a adjacente lado do triângulo. Então, para preencher os outros dois lados do triângulo, você usa as raízes quadradas dos dois termos dentro do radical - ou seja, 2 e X. Place 2 da hipotenusa e X no lado oposto.
Você pode verificar para se certificar de que este posicionamento está correto usando o teorema de Pitágoras:
Identificar as peças separadas do integral (incluindo dx) Que você precisa de expressar em termos de theta.
Neste caso, a função contém duas partes separadas que contêm X:
Video: Cálculo I - DERIVADA da função SENO usando a definição [Demonstração] (aula 07)
Expressar essas peças em termos de funções trigonométricas de theta.
Este é o verdadeiro trabalho de trig substituição, mas quando o triângulo é configurado corretamente, este trabalho torna-se muito mais fácil. No caso senoidal, todos funções trigonométricas deve ser senos e co-senos.
Para representar a porção radical como uma função trigonométrica da teta, primeiro construir uma fracção com o radical
como o numerador e a constante de 2 como o denominador. Em seguida, defina essa fração igual à função trig apropriado:
Porque o numerador é o lado adjacente do triângulo e o denominador é a hipotenusa
desta fracção é igual a
Agora, um pouco de álgebra recebe o radical sozinho em um lado da equação:
Em seguida, você quer expressar dx como uma função trigonométrica da teta. Para fazê-lo, construir uma outra fração com a variável X no numerador e a constante de 2 no denominador. Em seguida, defina essa fração igual à função trig correta:
Desta vez, o numerador é o lado oposto do triângulo e o denominador é a hipotenusa
portanto esta fracção é igual a
Agora resolva para X e, em seguida, diferenciar:
Reescreva a integral em termos de theta e avaliá-lo:
Para alterar esses dois termos teta em X termos, reutilizar a seguinte equação:
Então aqui está uma substituição que lhe dá uma resposta:
Essa resposta é perfeitamente válido para que, tecnicamente falando, você pode parar aqui. No entanto, alguns professores desaprovam a nidificação de trig e funções trigonométricas inversas, então eles vão preferir uma versão simplificada
Para descobrir isso, começar aplicando a fórmula sine duplo ângulo para
Agora use seu triângulo substituição trig para substituir valores para
em termos de x:
Para terminar, substituir esta expressão para esse segundo termo problemático para obter a sua resposta final em uma forma simplificada:
