Configurando frações parciais quando você tem fatores lineares distintos

Seu primeiro passo em qualquer problema que envolve frações parciais é reconhecer que caso você está lidando com para que você possa resolver o problema. O caso mais simples no qual as fracções parciais são úteis quando é o denominador é o produto de distinto

fatores lineares - Ou seja, fatores lineares que são não repetidos.

Por exemplo, você pode mudar isso:

para isso:

Tenha em mente que para cada factor linear distinta no denominador, você precisa adicionar uma fração parcial da seguinte forma:

Por exemplo, suponha que você deseja integrar a seguinte expressão racional:

O denominador é o produto de três factores lineares distintas - x, (X + 2), e (X - 5) - de modo que é igual à soma das três fracções com estes factores como denominadores:

O número de factores lineares distintas no denominador da expressão original, determina o número de fracções parciais. Neste exemplo, a presença de três factores no denominador da expressão original produz três fracções parciais.

Você tem duas maneiras de encontrar as incógnitas em uma soma de frações parciais. A maneira mais fácil e rápida é usando as raízes de polinômios. Infelizmente, este método não sempre encontrar todas as incógnitas em um problema, embora muitas vezes encontra alguns deles. A segunda maneira é a criação de um sistema de equações.

Quando uma soma de frações parciais tem fatores lineares distintos, você pode usar as raízes desses fatores lineares para encontrar os valores das incógnitas:

Para encontrar os valores das incógnitas UMA, B, e C, primeiro obter um denominador comum no lado direito desta equação (o mesmo denominador que é no lado esquerdo):

Agora multiplique ambos os lados por este denominador:

1 = UMA(X + 2) (X - 5) + Bx(X - 5) + Cx(X + 2)

Video: Me Salva! Integração por Frações Parciais

Para encontrar os valores de UMA, B, e C, substituir as raízes dos três factores (0, -2, e 5):

Conectando esses valores de volta para a equação original dá-lhe:

Esta expressão é equivalente ao que você começou com, mas é muito mais fácil integrar. Para fazer isso, use a regra da soma de quebrá-lo em três integrais, a constante de regra múltipla para mover coeficientes fracionários fora de cada substituição integral, e variável para fazer a integração. Aqui está a resposta para que você possa experimentá-lo:

Esta resposta usa K ao invés de C para representar a constante de integração para evitar confusão, porque você já usou C nas fracções parciais anteriores.

Ao iniciar-se com um factor linear distinto, utilizando fracções parciais deixa-o com um integrante da seguinte forma:

Video: 28-Parte 01 Fatores Lineares Repetidos (Integral de Frações Parciais)

Integrar usando a substituição variável você = machado + b de modo a du = a dx e

Esta substituição resulta na seguinte integral:

Aqui estão alguns exemplos:

Video: 29-Parte 02 Fatores Lineares Repetidos (Integral de Frações Parciais)