Integrar as funções onde o denominador contém factores quadráticas irredutíveis

Video: Me Salva! INT39 - Integral por Frações Parciais com fator irredutível

Às vezes você não pode levar um denominador todo o caminho até a fatores lineares porque alguns quadráticas são irredutíveis - como números primos, eles não podem ser tidos.

Verifica a discriminante. Você pode facilmente verificar se um quadrático (machado² + bx + c) É redutível ou não, verificando a sua discriminante, b² - 4CA. Se o discriminante é negativo, a quadrática é irredutível. Se o discriminante é um quadrado perfeito como 0, 1, 4, 9, 16, 25, etc., a quadrática pode ser tidos em conta factores como você está acostumado a ver como (2X - 5) (X + 5). A última possibilidade é que o discriminante é igual a um número positivo não-quadrado, como com a quadrática X² + 10X + 1, por exemplo, que tem um discriminante de 96. Nesse caso, a quadrática pode ser tomada, mas você começa fatores feias envolvendo raízes quadradas. Felizmente, estes problemas são raros.

Usando a técnica de fracções parciais com quadráticas irredutíveis é um pouco diferente. Aqui está um problema: Integrar

1. Levar o denominador.

   Está feito! Observe que X² + 4 é irredutível porque a sua discriminante é negativo.

2. Quebra-se a fracção para uma soma de “fracções parciais.”

   Se você tem um fator quadrático irredutível (como o X² + 4), o numerador para a fracção parcial precisa de duas incógnitas de capital letras em vez de apenas um. Você escreve-los na forma de Px + Q.

   

3. Multiplicar ambos os lados desta equação pela esquerda; denominador lado.

   

4. Tome as raízes dos fatores lineares e ligá-los - um de cada vez - em X na equação a partir do Passo 3, e em seguida resolver.

   E se X = 0, Se X = 1,

   -4 = -4UMA10 = 5B

   
   
   
   

   UMA = 1B = 2

   Você não pode resolver para todas as incógnitas, ligando as raízes dos fatores lineares, então você tem mais trabalho a fazer.

5. Ligue-se a equação Passo 3, os valores conhecidos de UMA e B e quaisquer dois valores para X não utilizado no Passo 4 (números baixos fazem a aritmética mais fácil) para obter um sistema de duas equações em C e D.

   

6. Resolver o sistema: 1 = + D -C e 7 = 2C + D.

   Voce deveria pegar = C 2 e D = 3.

7. Dividir o integrante original e integrar.

   Utilizando os valores obtidos nos Passos 4 e 6, UMA = 1, B = 2, C = 2, e D = 3, ea equação da Etapa 2, você pode dividir o integrante original em três partes:

   

   Video: Frações Parciais III: Denominador irredutível de 2° Grau

   E com álgebra simples, você pode dividir-se o terceiro integrante da direita em duas partes, resultando na frações parciais final:

   

   Os dois primeiros integrais são fáceis. Para o terceiro, você usa substituição com

   

   O quarto é feito com a regra arco tangente, o que você deve memorizar: