10 Maneiras de calcular funções de trigonometria sem funções trigonométricas

A função trigonométrica tem valores de entrada que são ângulos e valores de saída que são números reais. Você tem duas opções quando introduz valores em uma função trig: Você pode usar graus ou radianos. A maioria das pessoas estão mais confortáveis ​​com as medidas de grau, mas as medidas radianos ter um benefício enorme: Eles são números reais - eles têm valores decimais e são múltiplos de π.

Os seguintes são fórmulas para o cálculo funções trigonométricas usando a soma dos termos em um série. Os mais termos que você usa, mais precisa a sua resposta é mais casas decimais. Algumas destas séries têm fórmulas reconhecíveis para o termo geral. Outros só têm um padrão que você pode seguir.

Seno

O seno do ângulo X (Escrito na medida em radianos) é igual à soma dos seguintes termos:

O padrão parece ser a de usar factoriais com numeração ímpar, no denominador, o mesmo número ímpar como o poder de X, e para alternar os sinais. O termo geral para esta série é

co-seno

A co-seno do ângulo X (Escrito na medida em radianos) é igual para os seguintes termos:

Este padrão utiliza factoriais de número par nos denominadores, o mesmo número par como potência, e alterna sinais. Você pode se perguntar sobre isso primeiro mandato. Desde 0! é igual a 1 (por definição) e X⁰ é igual a 1, você tem 1 dividido por 1, que é muito próximo de 1. O termo geral para esta série é:

Tangente

A tangente do ângulo X (Escrito na medida em radianos) é igual para os seguintes termos:

O padrão aqui não parece tão óbvio. Na verdade, é bastante complicado. Em vez de mostrar-lhe o termo geral, você pode realmente aplicar a fórmula para encontrar a tangente de 45 graus, ou

Video: Determinar Período de função Trigonométrica

Esta é uma escolha inteligente de sua parte, porque você já sabe que a tangente de 45 graus é igual a 1.

Usando a fórmula,

Este cálculo será apenas para os primeiros cinco termos. Os termos mais você usa, mais próximo de 1 que você recebe. Os próximos passos envolvem decimais e um monte de computação calculadora, mas ter com ele:

Sem entrar em detalhes sangrentos, você pode ver os valores decimais individuais dos termos:

Adicionando estes cinco termos juntos, você obtém 1,000916. Sim, isso é maior do que 1, mas arredondar para cima em um par desses cálculos para torná-los todos os seis casas decimais longos. Levando mais casas decimais torna mais preciso, também.

tangente inversa

A tangente inversa dado um número real X dá-lhe a medida do ângulo da entrada. A tangente inversa é igual para os seguintes termos:

Você encontra duas regras diferentes aqui. Essencialmente, o quadrado de qualquer fracção apropriada - qualquer número entre -1 e 1 - tem um quadrado, que é menos do que 1.

seno inverso

O seno inverso dado um número real X entre -1 e 1 (incluindo os dois números) dá a medida do ângulo a partir da entrada. O seno inversa é encontrado com termos formados a partir da seguinte fórmula:

Aqui estão os primeiros termos, criados a partir da fórmula.

OK. É o bastante. Você começa a deriva.

ângulo de 45 graus

Um ângulo de 45 graus, mais conhecido como

tem uma série infinita que dá o valor do ângulo para muitos, muitos lugares decimais - como muitos como você deseja para calcular.

A fórmula para todos os termos é

Observe que os poderes de -1 tornar o suplente termos em sinal.

Pi quadrado dividido por 6

Existem muitos destes guloseimas em potências de π em fracções que formam série infinita. Aqui está um:

Você provavelmente preferiria usar uma calculadora gráfica para calcular esta medida do ângulo, mas o que diversão é isso?

log natural de sine

Os logaritmos naturais são usados ​​extensivamente em aplicações científicas e de negócios. Encontrar o log natural do seno do ângulo X (Dada em radianos) pode ser realizada com o seguinte:

Você vê que o único termo positivo nesta série é o primeiro termo.

Sine como o poder do e

Na seção anterior, você viu como encontrar o log natural da função seno. O inverso do logaritmo natural é uma potência de e. Assim, virar a mesa, aqui é a série para e aumentada para o seno do ângulo X (Em radianos).

Como você pode ver, os sinais estão por todo o lugar. E os fatoriais saltar.

Criação de 1 de Sines

Este último tinha que ser um goodie. A maioria das pessoas acha que o número 1 é simplesmente perfeito. É fácil calcular com e uma parte de muitas estruturas matemáticas. Mas se você está entediado com as formas normais de computação 1, aqui é uma resposta à sua necessidade de estímulo:

Há uma estipulação de que 0 lt; X lt; k.