Como determinar eigenstates oscilador harmônico de um sistema
Na física quântica, quando você tem as eigenstates de um sistema, você pode determinar os estados permitidos do sistema ea probabilidade relativa de que o sistema será em qualquer um desses estados.
O comutador de operadores A, B é [A, B] = AB - ba, portanto, notar que o comutador de
é o seguinte:
Este é igual ao seguinte:
Esta equação quebra de
E montar essa equação com o Hamiltoniano,
Ok, com as relações de comutador, você está pronto para ir. A primeira pergunta é: se a energia do estado | n gt; é En, o que é a energia do estado uma | n gt ;? Bem, para encontrar este, reorganizar o comutador
Em seguida, usar isso para escrever a ação de
como isso:
assim uma | n gt; é também um autoestado do oscilador harmónico, com energia
Notan. É por isso uma é chamado de aniquilação ou baixa operador: Ela reduz o nível de energia de um eigenstate oscilador harmônico em um nível.
Então, qual é o nível de energia
Você pode escrever isso como este:
Tudo isso significa que
é um autoestado do oscilador harmónico, com energia
não só En - isto é, o
aumenta o nível de energia de um eigenstate do oscilador harmônico em um nível.
Então agora você sabe que
Você pode derivar o seguinte a partir destas equações:
C e D são constantes positivas, mas o que eles igual? Os estados |n - 1GT; e |n + 1GT; têm de ser normalizada, o que significa que lt;n - 1 |n - 1GT; = lt;n + 1 |n + 1GT; = 1. Então, dê uma olhada na quantidade usando o operador C:
E porque |n - 1GT; é normalizada, lt;n - 1 |n - 1GT; = 1:
Mas você também sabe que
o operador nível de energia, de modo a obter a seguinte equação:
lt; n | N | n gt; = C2
N | n gt; = n | n gt ;, onde n é o nível de energia, então
n lt; n | n gt; = C2
Contudo, lt; n | n gt; = 1, então
Este finalmente diz-lhe, de uma | n gt; = C | n - 1 gt ;, em que
Isso é legal - agora você sabe como usar o operador de redução, uma, em autoestados do oscilador harmónica.
E sobre o operador de levantamento,
Primeiro você reorganizar o comutador
Então você siga o mesmo curso de raciocínio você tomar com o uma operador para mostrar o seguinte:
Portanto, neste ponto, você sabe o que os autovalores de energia são e como a captação e operadores redução afetar os eigenstates oscilador harmônico.