Trabalhando com três dimensões osciladores harmônicos
Na física quântica, quando você está trabalhando em uma dimensão, a partícula geral oscilador harmônico parece com a figura mostrada aqui, onde a partícula está sob a influência de uma força de restauração - neste exemplo, ilustrado como uma mola.
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A força restauradora tem a forma FX = -kXX em uma dimensão, onde kX é a constante de proporcionalidade entre a força sobre a partícula e a localização da partícula. A energia potencial da partícula em função da localização X é
Video: Tema 01 - O Oscilador Harmônico Simples | Aula 06 - Amplitude, período e frequência
Esta é também por vezes escrito como
Agora, dê uma olhada no oscilador harmônico em três dimensões. Em três dimensões, o potencial parece com isso:
Video: Oscilador Harmônico
Agora que você tem um formulário para o potencial, você pode começar a falar em termos da equação de Schrödinger:
Substituindo na para o potencial de três dimensões, V (x, y, z), Dá-lhe esta equação:
Video: Pink - Versão Osciladores Harmônicos
Tome esta dimensão por dimensão. Porque você pode separar o potencial em três dimensões, você pode escrever
Portanto, a equação de Schrödinger parece com isso para X:
Resolver essa equação, você recebe esta solução seguinte:
Onde
e nX = 0, 1, 2, e assim por diante. o HnX termo indica um polinômio hermite, que se parece com isso:
H0(X) = 1
H1(X) = 2X
H2(X) = 4X2 - 2
H3(X) 8 =X3 - 12X
H4(X) = 16X4 - 48X2 + 12
H5(X) = 32X5 - 160X3 + 120X
Portanto, você pode escrever a função de onda como esta:
Isso é uma forma relativamente fácil para uma função de onda, e é tudo possível graças ao fato de que você pode separar o potencial em três dimensões.
E sobre a energia do oscilador harmônico? A energia de um oscilador harmônico unidimensional é
E por analogia, a energia de um oscilador harmônico tridimensional é dada por
Note que se você tiver um oscilador harmônico isotrópico, onde
Video: Osciladores Harmônicos - Ensaio
a energia se parece com isso:
Como para o potencial cúbico, a energia de um oscilador harmónica isotrópica 3D é degenerada. Por exemplo, E112 E =121 E =211. Na verdade, é possível ter mais de degeneração tríplice para um oscilador harmônico isotrópico 3D - por exemplo, E200 E =020 E =002 E =110 E =101 E =011.
Em geral, a degeneração de um oscilador de harmónica é isotrópica 3D
Onde n = nX + ny + nz.