Como encontrar a eigenstate energia de um oscilador harmônico no espaço posição
Na física quântica, é possível usar operadores para determinar a eigenstate energia de um oscilador harmônico no espaço posição. O encanto de usar os operadores uma
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é que, dado o estado fundamental, | 0 gt ;, os operadores permitem que você encontrar todos os estados de energia sucessivas. Se você quiser encontrar um estado animado de um oscilador harmônico, você pode começar com o estado fundamental, | 0 gt ;, e aplicar o operador de elevação,
Por exemplo, você pode fazer isso:
E assim por diante. Em geral, você tem essa relação:
você não pode obter um eigenstate espacial deste eigenvector? Algo como
não apenas | 0 gt ;? Sim você pode. Em outras palavras, você quer encontrar
Então, você precisa as representações de
Video: Cap15 - 05 - Oscilador Harmônico Forçado (OHF)
no espaço posição.
o p operador é definido como
Porque
você pode escrever
Video: Tema 10 - Movimento Harmônico Simples (MHS) | Aula 03 - Equação do movimento
e escrita
isso se torna
Ok, o que sobre a uma operador? Você sabe disso
E essa
Assim sendo,
Você também pode escrever esta equação como
Ok, então isso é uma na representação posição. O que é
Que acaba por ser esta:
Video: MHS 004 - MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES - MASSA MOLA - CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA - GRÁFICOS
Agora é a hora de ser inteligente. Você quer resolver | 0 gt; no espaço de posição, ou lt; X | 0 gt ;. Aqui é a parte inteligente - quando você usa o operador de redução, uma, on | 0 gt ;, você tem que obter 0, porque não há nenhum estado mais baixo do que o estado fundamental, por isso uma | 0 gt; = 0. E aplicar o lt; X | bra dá-lhe lt; X | uma | 0 gt; = 0.
Isso é inteligente, porque ele vai dar-lhe uma equação diferencial homogênea (isto é, aquele que é igual a zero). Primeiro, você substituir uma:
Multiplicando ambos os lados por
dá-lhe a seguinte
A solução para esta equação diferencial é compacto
Isso é uma função gaussiana, de modo que o estado fundamental de um oscilador harmônico mecânica quântica é uma curva de Gauss, como você vê na figura.