Inicie o estudo de caso controle de cruzeiro com a física

Este estudo de caso começa com a construção do modelo, a partir de física básica. Uma atenção especial é dada para incorporar a resistência do vento e incluem como um sistema perturbação,

o aparecimento de uma colina. As leis do movimento dizem que, dada a massa do veículo m e motor fornecido vigor cw(t), Onde c é constante de proporcionalidade e 0 ≤ w (t) ≤ 1 representa o acelerador do motor, F_copinho(t) = mv(t) = cw(t), t ≥ 0.

Video: Física - Classificação de Movimento - Oficina do Estudante

a resistência do ar, proporcional à velocidade ao quadrado vezes ρ constante, produz arrasto sobre o veículo. Além disso, quando o veículo encontra um monte (a perturbação do sistema descrito na introdução) de ângulo θ, gravidade cria uma segunda força contrária, mg pecado(θ), Onde g é a constante gravitacional de 9,8 m / s². Um pequeno ângulo é assumida neste caso, portanto, o seguinte é válido.

A equação do movimento é agora

onde a última linha é dividida através pela massa m. Esta é uma equação diferencial não-linear em termos da velocidade de veículo v(t) Por causa do aparecimento de v²(t), O termo resistência ao ar.

Observar a equação diferencial não linear

Embora a equação diferencial não-linear não é uma forma adequada para o projeto de um controle de cruzeiro, existem algumas observações interessantes que podem ser feitas. Esse entendimento também contribui com o processo de linearização.

Quando o veículo está no plano (θ = 0), e o valor máximo de aceleração de 1,0, a equação diferencial não linear reduz a

A velocidade máxima será alcançado como t torna-se grande. Na velocidade máxima a aceleração deve ser igual a zero, então

A equação simplifica ainda mais a

Não tente isso em casa com seu carro!

A segunda observação é a de que as bancas de veículos ao subir uma colina a aceleração máxima por algum ângulo crítico θ_s. Você primeiro precisa saber que tenda significa a velocidade do veículo é zero e a aceleração é zero. A partir da equação diferencial não-linear completa

Agora você resolver para θ_s como o pecado^-1[c/ (mg)]. Nota esta análise assume que o veículo permanece em uma engrenagem fixa. Em dirigindo seu próprio carro você provavelmente downshift para o menor engrenagem para evitar estagnação.

A terceira observação é a solução da equação diferencial não linear no máximo e acelerador θ = 0. Comece definindo a constante

Video: Alunos realizam Pesquisa Caso Controle em Escola

a equação diferencial com este T inserir torna-se:

A solução exata para esta forma simplificada é v(t) = v_maxtanh (t / T). Você pode verificar isso é uma solução válida, inserindo-o de volta na equação diferencial e ver que a equação é satisfeita. Esta solução dá-lhe o perfil de velocidade versus tempo com o acelerador preso ao chão.

Note que este não chega a aplicar-se a um carro real, porque o modelo não leva em conta troca de marchas com uma transmissão. plotando v(t) para um dado v_max e T você pode ver cerca de quanto tempo leva para acelerar a uma velocidade de cruzeiro particular, por exemplo, 0 a 60 mph em 10 segundos.

Linearizar a uma velocidade de cruzeiro nominal

Para se linearizar a equação diferencial para uma velocidade de cruzeiro nominal de v₀ lt; v_max e ajuste do acelerador de 0 correspondendo lt; W₀ lt; 1, usar um um prazo série de Taylor expansão. No cálculo, você aprende que qualquer função, digamos y = f(X), Pode ser aproximado perto do ponto X₀ utilização f(X₀) E os seus derivados avaliada em X₀. Uma aproximação um termo é linear em X - X₀, isso é

E se f(X) = X² a expansão se torna

Porque f ‘(X) = 2X avaliadas em X₀ é 2X₀.

Para o problema na mão, você quer expandir no que diz respeito à velocidade nominal v₀ e posição do acelerador W₀. Fazer substituições na equação diferencial original, como segue:

representam o desvio de configurações de velocidade e de distância do acelerador a partir dos valores nominais. Estes são os novos parâmetros de modelagem. Na equação diferencial de origem:

onde uma função degrau está incluído no termo colina gravidade para modelar o aparecimento de colina t = 0. Note na última linha

é zero porque este é o ponto de funcionamento constante nominal, que também corresponde à posição do acelerador W₀. Se você definir a constante de tempo

a equação diferencial agora torna-se linearizado