Como medir o volume de um objeto por transformá-lo em seu lado

Às vezes, se você quiser medir o volume de um objeto, você precisa ativá-lo de lado para que você pode usar o método de carne slicer. Este método funciona melhor com sólidos que têm secções transversais semelhantes.

Aqui está o plano:

1. Encontrar uma expressão que representa a área de uma secção transversal aleatório do sólido em termos de X.

2. Use esta expressão para construir uma integral definida (em termos de dx) Que representa o volume do sólido.

3. Avaliar este integral.

   
   Usando inversas para obter um problema pronto para o método de carne slicer.

Por exemplo, suponha que você quer medir o volume do sólido mostrado aqui. A base deste sólido (cinza claro) é limitado nos seus lados pela função y = X⁴ Entre o X-eixo na parte inferior e y = 2 através da parte superior. A figura 3 é unidades alta, de tal modo que a secção transversal quando se cortar paralelo com o X-eixo é uma série de triângulos isósceles, cada um com uma altura de 3 e uma base, que é a largura em toda a função y = X⁴.

A boa notícia é que este sólido tem seções transversais que são todos triângulos semelhantes, então o método de carne slicer vai funcionar. Infelizmente, como o problema está atualmente, você tem que fazer suas fatias perpendicular ao y-eixo. Mas para usar o método de carne slicer, você deve fazer suas fatias perpendicular ao X-eixo.

Para resolver o problema, primeiro você precisa virar o sólido para o X-eixo, como mostrado no lado direito da figura. A maneira mais fácil de fazer isso é usar o inverso da função y = X⁴. Para encontrar o inverso, interruptor X e y na equação e resolva para y:

Note-se que a equação resultante

neste caso não é uma função do X porque um único X-valor pode produzir mais do que um y-valor. No entanto, você pode usar esta equação em conjunto com o método de carne slicer para encontrar o volume que você está procurando.

1. 
   
   
   

   Encontrar uma expressão que representa a área de uma secção transversal aleatório do sólido.

   A secção transversal é um triângulo isósceles com uma altura de 3 e uma base de

   

   assim utilizar a fórmula para a área de um triângulo:

   

2. Use esta expressão para construir uma integral definida que representa o volume do sólido.

   

3. Resolver o integral.

   

   Agora avaliar esta expressão: