Como encontrar o volume de um sólido entre duas superfícies de revolução

Se você quiser encontrar o volume de um sólido que cai entre duas superfícies diferentes de revolução, você pode usar o método de carne slicer para fazer isso. o método de carne fatiador

1. Encontrar uma expressão que representa a área de uma secção transversal aleatório do sólido em termos de X.

2. Use esta expressão para construir uma integral definida (em termos de dx) Que representa o volume do sólido.

3. Avaliar este integral.

   Video: 40. Área de Superfície de Revolução. | Cálculo I

O truque é encontrar uma maneira de descrever a área em forma de rosca de uma secção transversal como a diferença entre duas integrais: um integrante que descreve toda a forma menos uma outra que descreve o buraco.

Por exemplo, suponha que você deseja encontrar o volume do sólido mostrado aqui.

Este parece sólido algo como uma tigela virou de lado. O bordo exterior é o sólido de revolução em torno do X-eixo para a função

O bordo interior é o sólido de revolução em torno do X-eixo para a função

Video: Área da superfície de revolução - exemplo 1

Veja como resolver este problema:

1. Encontrar uma expressão que representa a área de uma secção transversal aleatório do sólido.

   Ou seja, encontrar a área de um círculo com um raio de

   

   e subtrair a área de um círculo com um raio de

   

2. Use esta expressão para construir uma integral definida que representa o volume do sólido.

   Os limites de integração são 0 e 4:

   

3. Resolver a integral:

   

   
   
   
   

   Agora avaliar esta expressão:

   

Aqui está outro problema: Encontre o volume do sólido mostrado aqui.

Este sólido quedas entre a superfície de revolução y = ln X e a superfície de revolução

delimitada abaixo pela y = 0 e acima por y = 1.

A secção transversal deste sólido é mostrado no lado direito; o lado da figura: um círculo com um furo no meio.

Video: Cálculo de área de região e volume de sólido de revolução (cascas)

Observe, no entanto, que esta secção transversal é perpendicular à y-eixo. Para utilizar o método de carne fatiador, a secção transversal tem de ser perpendicular ao X-eixo. Modificar o problema usando inversos:

O problema resultante é mostrada nesta figura.

Agora você pode usar o método de carne slicer para resolver o problema:

1. Encontrar uma expressão que representa a área de uma secção transversal aleatório do sólido.

   Ou seja, encontrar a área de um círculo com um raio de e^X e subtrair a área de um círculo com um raio de

   

   Este é apenas geometria. Lembre-se que a área de um círculo é πr²:

   

2. Use esta expressão para construir uma integral definida que representa o volume do sólido.

   Os limites de integração são 0 e 1:

   

3. Avaliar a integral:

   

   Assim, o volume deste sólida é de aproximadamente 9,179 unidades cúbicas.