Substituindo com expressões da forma f (x) multiplicado por h (g (x))

Quando g

‘(X) = f(X), Você pode usar a substituição você = g(X) Para integrar expressões da forma f(X) multiplicado por h(g(X)), providenciou que h é uma função que você já sabe como integrar.

A substituição de variável ajuda a preencher as lacunas deixadas pela ausência de uma regra do produto e uma regra da cadeia para a integração.

Aqui está um cabeludo aparência integral que realmente responde bem a substituição:

O aspecto chave aqui é que o numerador desta fracção é a derivada da função interna no denominador. Observe como isso se desenrola neste substituição:

1. Declarar você igual à função interna no denominador e fazer a substituição:

   Aqui está a substituição:

   

2. Diferencial dvocê = (2X + 1) dx:

   

3. A segunda parte da substituição torna-se agora claro:

   

   Observe como esta substituição depende do fato de que o numerador é a derivada da função interna no denominador. (Você pode pensar que esta é uma coincidência, mas coincidências como estes acontecem o tempo todo em exames!)

4. A integração é agora bastante simples:

   Video: Demonstração e prova da regra do quociente (derivada)

   Você dar um passo extra para remover a fração antes de integrar:

   

5. substituir volta X² + X - 5 para você:

   
   
   
   

   

Verificando a resposta através da diferenciação com a regra da cadeia revela como esse problema foi criado, em primeiro lugar:

Aqui está outro exemplo onde você faz uma substituição de variáveis:

Note-se que o derivado de X⁴ - 1 é X³, fora por um factor constante. Então aqui está a declaração, seguida pela diferenciação:

Agora você pode apenas fazer as duas substituições de uma vez:

Video: Multiplicação Números Decimais

Neste ponto, você pode resolver a integral simplesmente.

Da mesma forma, aqui está outro exemplo:

À primeira vista, esta integral parece simplesmente horrível. Mas em uma inspecção mais aprofundada, notar que o derivado do berço X é -csc² x, de modo que este se parece com outro bom candidato:

Isto resulta na seguinte substituição:

Novamente, este é outro integrante que você pode resolver.