Configurando frações parciais quando você tem fatores distintos

Seu primeiro passo em qualquer problema que envolve frações parciais é reconhecer que caso você está lidando com para que você possa resolver o problema. Um caso em que você pode usar frações parciais é quando o denominador é o produto de distinto

fatores quadrática - ou seja, fatores quadrática que são não repetidos.

Para cada factor de quadrática distinta no denominador, adicionar uma fracção parcial da seguinte forma:

Por exemplo, suponha que você deseja integrar esta função:

O primeiro factor no denominador é linear, mas o segundo é quadrática e não pode ser decomposto para factores lineares. Assim configurar suas frações parciais da seguinte forma:

O número de fatores quadrática distintas no denominador informa quantas frações parcial que você começa. Assim, neste exemplo, dois factores no denominador se obter duas fracções parciais.

Trabalhar sistematicamente com um sistema de equações

A criação de um sistema de equações é um método alternativo para encontrar o valor de desconhecidos quando você está trabalhando com frações parciais. Não é tão simples como ligar as raízes de fatores, mas é a sua única opção quando a raiz de um fator quadrática é imaginário.

Aqui está um problema para ilustrar este método:

Para começar, veja quão longe você pode obter ligando as raízes de equações. Começar por obter um denominador comum no lado direito da equação:

Agora multiplique toda a equação pelo denominador:

5X - 6 = (UMA) (X² + 3) + (Bx + C) (X - 2)

A raiz X - 2 é 2, então vamos X = 2 e ver o que você tem:

Agora você pode substituir

Infelizmente, X² + 3 não tem raiz em números reais, então você precisa de uma abordagem diferente. Em primeiro lugar, livrar-se dos parênteses no lado direito da equação:

Em seguida, combinar termos semelhantes (usando X como a variável pela qual você julga semelhança). Este é apenas álgebra:

Porque esta equação funciona para todos valores de x, agora você pegar o que parece ser um passo questionável, quebrando esta equação em três equações separadas da seguinte forma:

Neste ponto, um pouco de álgebra diz que

Assim, você pode substituir os valores de UMA, B, e C de volta para as fracções parciais:

Você pode simplificar a segunda fração um pouco:

factores quadrática da forma (machado² + C)

Quando você começa com um fator quadrática da forma (machado² + C), Utilizando as fracções parciais resulta nos dois integrais seguintes:

Integrar o primeiro usando a substituição variável você = machado² + C de modo a du = 2machado dx e

Esta substituição resulta na seguinte integral:

aqui estão alguns exemplos:

Para avaliar a segunda integral, utilizar a seguinte fórmula:

factores quadrática da forma (machado² + bx + C)

A maioria dos professores de matemática têm pelo menos um pingo de piedade em seus corações, para que eles não tendem a dar-lhe problemas que incluem este caso mais difícil. Quando você começa com um fator quadrática da forma (machado² + bx + C), Utilizando as fracções parciais resulta na seguinte integral:

Ok, isso é a forma como muitos letras e números não o suficiente. Aqui está um exemplo:

Este é sobre a integrante mais peludo você nunca vai ver na extremidade de uma fração parcial. Para avaliá-lo, você quer usar a substituição de variáveis você = X² + 6X + 13, de modo que du = (2X + 6) dx. Se o numerador foram 2X + 6, você estaria em grande forma. Então, você precisa ajustar o numerador um pouco. Primeiro multiplique por 2 e dividir toda a integral por 2:

Porque você multiplicou toda a integral por 1, sem nenhuma mudança substancial ocorreu. Agora adicione 6 e -6 no numerador:

Você adicionou 0 para a integral, que não alterar seu valor. Neste ponto, você pode dividir a integral em dois:

Neste ponto, você pode usar substituição de variável para alterar o primeiro integrante da seguinte forma:

Para resolver o segundo integral, completar o quadrado no denominador: Divida o b prazo (6) por 2 e quadratura-la, e, em seguida, representa o C prazo (13) como a soma deste e tudo o que resta:

Agora dividir o denominador em duas praças:

Para avaliar esta integral fórmula, utilização mostrado na secção anterior:

Então aqui está a resposta final para a segunda integral:

Portanto, a juntar a resposta completa da seguinte forma: