Como calcular um intervalo de confiança para uma média da população com desvio padrão desconhecido e / ou pequeno tamanho da amostra

Você pode calcular um intervalo de confiança (IC) para a média, ou média, de uma população, mesmo se o desvio padrão é desconhecido ou o tamanho da amostra é pequeno. Quando uma característica estatística que está sendo medido (como renda, QI, preço, altura, quantidade ou peso) é numérico, a maioria das pessoas quer para estimar o valor médio (média) para a população. Você estimar a média da população,

usando uma média da amostra,

mais ou menos uma margem de erro. O resultado é chamado de intervalo de confiança para a média da população,

Em muitas situações, você não sabe

assim você estimá-lo com o desvio padrão da amostra, s- e / ou o tamanho da amostra é pequeno (menos de 30), e você não pode ter certeza que seus dados vieram de uma distribuição normal. (Neste último caso, o Teorema do Limite Central não pode ser usado.) Em qualquer situação, você não pode usar uma z * -valor do padrão normal (Z-) De distribuição como o seu valor crítico anymore- você tem que usar um valor crítico maior do que isso, porque de não saber o

é, e / ou ter menos dados.

A fórmula para um intervalo de confiança para uma média da população, neste caso, é

é o crítico t *-valor do t-de distribuição com n - 1 graus de liberdade (onde n é o tamanho da amostra).

o t * -valores para os níveis de confiança comuns são encontrados usando a última linha do acima t-mesa.

o t-distribuição tem uma forma semelhante à que se Z-distribuição exceto que é mais plana e mais espalhados. Para valores pequenos de n e um nível de confiança específico, os valores críticos no t-distribuição são maiores do que na Z-distribuição, de modo que quando você usa os valores críticos do t-distribuição, a margem de erro para o seu intervalo de confiança será maior. À medida que os valores de n obter maiores, o t *-valores estão mais próximos z *-valores.

Para calcular uma IC para a população média (média), sob estas condições, fazer o seguinte:

1. Determinar o nível de confiança e graus de liberdade e, em seguida, encontrar o apropriado t *-valor.

   Referem-se a t-tabela anterior.

2. Encontre a média da amostra

   

   e o desvio padrão da amostra (s) Para a amostra.

3. 
   
   
   

   Multiplicar t * vezes s e dividir esse pela raiz quadrada de n.

   Este cálculo dá-lhe a margem de erro.

4. Levar

   

   mais ou menos a margem de erro para obter a CI.

   A extremidade inferior do IC é

   

   menos a margem de erro, enquanto que a extremidade superior do IC é

   

   acrescido da margem de erro.

Por exemplo, suponha que você trabalha para o Departamento de Recursos Naturais e que pretende estimar, com 95% de confiança, a média (média) comprimento de todos os alevinos walleye em uma lagoa incubadora de peixes. Está tomar uma amostra aleatória de 10 crias e determinar que o comprimento médio é de 7,5 polegadas e o desvio padrão da amostra é de 2,3 polegadas.

1. Porque você quer um intervalo de confiança de 95%, a determinar o seu t *-valor da seguinte maneira:

   o t *-valor vem de um t-distribuição com 10 - 1 = 9 graus de liberdade. este t * -valor é encontrado por olhar para o t-mesa. Olhe na última fila, onde os níveis de confiança estão localizados, e encontrar o nível de confiança de 95% - isto marca a coluna que você precisa. Em seguida, encontrar a linha correspondente à df = 9. Intersect a linha e coluna, e você encontrará t * = 2,262. Isto é o t * -valor para um intervalo de confiança de 95% para a média com um tamanho de amostra de 10 (Note que esta é maior do que o z* -valor, o que seria 1,96 para o mesmo intervalo de confiança.)

2. Está sabe que o comprimento médio é de 7,5 polegadas, o desvio padrão da amostra é de 2,3 polegadas, e o tamanho da amostra é 10. Estes meios

   

3. Multiply 2.262 vezes 2.3 dividido pela raiz quadrada de 10. A margem de erro é, portanto,

   

4. O seu intervalo de confiança de 95% para o comprimento médio de todos os alevinos walleye nesta lagoa incubadora de peixes é

   

   (A extremidade inferior do intervalo é 7,5-1,645 = 5,86 polegadas- a extremidade superior é de 7,5 + 1,645 = 9,15 polegadas).

Observe este intervalo de confiança é maior do que seria para um grande tamanho da amostra. Além de ter um valor crítico maior (t * versus z *), O menor tamanho da amostra aumenta a margem de erro, porque n está em seu denominador. Com um tamanho de amostra menor, você não tem tanta informação para “adivinhar” a média da população. Daí mantendo com 95% de confiança, você precisa de um intervalo mais amplo do que você teria precisado com um tamanho de amostra maior, a fim de ter 95% de certeza de que a média da população cai no seu intervalo.

Depois de calcular um intervalo de confiança, certifique-se sempre interpretá-lo em palavras um não-estatístico iria entender. Isto é, falar sobre os resultados em termos do que a pessoa no problema é tentar descobrir - os estatísticos chamam esta interpretação dos resultados Neste exemplo você pode dizer: “Com 95% de confiança,“no contexto do problema.” a duração média de alevinos walleye em todo este lagoa incubadora de peixes é entre 5,86 e 9,15 polegadas, com base em meus dados de amostra.”(sempre se esqueça de incluir unidades apropriadas.)