Calcular a função de onda de um átomo de hidrogénio, utilizando a equação schrödinger
Se o seu instrutor de física quântica pede para você encontrar a função de onda de um átomo de hidrogênio, você pode começar com a equação de Schrödinger radial, Rnl(r), Que lhe diz que
A equação anterior vem resolver a equação Schrödinger radial:
A solução só é bom para uma constante multiplicativa, então você adicionar tal uma constante, Anl (Que acaba por depender do número quântico principal n eo número quântico do momento angular eu), como isso:
Você encontra umnl normalizando Rnl(r).
Agora tente resolver para Rnl(r) Por apenas flat-out fazer a matemática. Por exemplo, tentar encontrar R10(r). Nesse caso, n = 1 e eu = 0. Em seguida, porque N + eu + 1 = n, você tem n = n - eu - 1. Assim, N = 0 aqui. Isso faz com que Rnl(r) parece com isso:
E o somatório nesta equação é igual a
E porque eu = 0, reu = 1, então
Portanto, você também pode escrever
Onde r0 é o raio de Bohr. Para encontrar um10 e uma0, você normalizar
para 1, o que significa integrar
sobre todo o espaço e definir o resultado para 1.
e integrando as harmónicas esféricas, tais como Y00, sobre uma esfera completa,
dá-lhe 1. Portanto, você é deixado com a parte radial para normalizar:
conectando
para dentro
da-te
Você pode resolver este tipo de integral com a seguinte relação:
Com esta relação, a equação
torna-se
Assim sendo,
Este é um resultado bastante simples. porque A10 está ali apenas para normalizar o resultado, você pode definir uma10 a 1 (este não seria o caso se
vários termos em questão). Assim sendo,
Isso é bom, e faz R10(r), qual é
Você sabe disso
E entao
torna-se
Ufa. Em geral, aqui está o que a função de onda
parece de hidrogênio:
Onde
é um polinômio Laguerre generalizada. Aqui estão os primeiros polinômios de Laguerre generalizadas:
